13장: 중력

Gravitation

이번 장에서 배울 내용

• 뉴턴의 만유인력 법칙(Newton's law of gravitation): $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
• 중첩 원리(superposition principle): 여러 물체에 의한 중력의 벡터 합
• 지표면 근처의 중력: 중력 가속도 $a_g$와 자유 낙하 가속도 $g$의 차이
• 지구 내부의 중력: 구각 정리(shell theorem)
• 중력 퍼텐셜에너지(gravitational potential energy): $U = -\dfrac{GMm}{r}$
• 탈출 속력(escape speed): $v = \sqrt{2GM/R}$
• 케플러 법칙(Kepler's laws): 타원 궤도, 면적 속도, 주기의 법칙
• 위성의 에너지: 원궤도와 타원 궤도의 역학적 에너지

왜 중력을 배우는가?

지금까지 우리는 중력 가속도 $g = 9.8\;\text{m/s}^2$ 를 상수처럼 사용했다. 하지만 실제로 $g$ 는 위치에 따라 달라진다.

대한민국 나로우주센터 에서 발사된 누리호는 지표면에서 우주까지 가속하면서, 중력이 점점 약해지는 것을 경험한다. 인공위성이 궤도를 유지하고, 달이 지구 주위를 돌고, 지구가 태양 주위를 도는 것. 이 모든 현상의 근원이 뉴턴의 만유인력 법칙 이다.

13.1 뉴턴의 만유인력 법칙

만유인력 법칙 (Newton's Law of Gravitation)

우주의 모든 입자는 다른 모든 입자를 끌어당긴다. 질량 $m_1$과 $m_2$인 두 입자가 거리 $r$만큼 떨어져 있을 때, 중력의 크기는:

$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

여기서 $G$ 는 만유인력 상수(gravitational constant) 이다:

$$G = 6.674 \times 10^{-11}\;\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$$

만유인력의 특성

• 중력은 항상 인력(attractive force) 이다. 척력은 없다
• 두 입자 사이의 연결선을 따라 작용한다
• 뉴턴의 제3법칙 에 따라, 입자 1이 입자 2를 당기는 힘과 입자 2가 입자 1을 당기는 힘은 크기가 같고 방향이 반대
• 중력은 다른 물체에 의해 차폐되지 않는다. 사이에 무엇이 있든 상관없이 작용

벡터 형태로 쓸 때는 단위벡터의 방향을 분명히 정해야 한다. $\hat{r}_{12}$를 입자 1에서 입자 2로 향하는 단위벡터로 정의하면, 입자 2가 입자 1에 작용하는 힘은:

$$\vec{F}_{12} = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\hat{r}_{12}$$

반대로 $\hat{r}$을 힘을 주는 물체에서 받는 물체로 향하는 단위벡터로 잡으면 같은 힘을 $\vec{F} = -Gm_1m_2\hat{r}/r^2$처럼 쓴다. 핵심은 언제나 상대방을 향하는 인력 이라는 점이다.

구각 정리 (Shell Theorem)

균일한 구형 껍질(또는 구)에 대해 두 가지 중요한 결과가 있다:

정리 1: 균일한 구형 껍질은 껍질 바깥 에 있는 입자를 마치 모든 질량이 중심에 집중 된 것처럼 끌어당긴다.

정리 2: 균일한 구형 껍질은 껍질 내부 에 있는 입자에 알짜 중력을 작용하지 않는다.

덕분에 지구(구형 대칭)는 지표면 위의 물체를 마치 지구의 모든 질량이 중심에 있는 것처럼 끌어당긴다!

13.2 중력과 중첩 원리

중첩 원리 (Principle of Superposition)

$n$개의 입자가 있을 때, 입자 1에 작용하는 알짜 중력은 다른 모든 입자에 의한 중력의 벡터합 이다:

$$\vec{F}_{1,\text{net}} = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + \vec{F}_{14} + \cdots + \vec{F}_{1n}$$

$$\vec{F}_{1,\text{net}} = \sum_{i=2}^{n} \vec{F}_{1i}$$

각각의 힘 $\vec{F}_{1i}$는 다른 입자들의 존재에 영향받지 않고, 입자 1과 $i$ 사이의 거리와 질량만으로 결정된다.

예제: 세 입자의 중력

질량 $m_1 = 6.0$ kg인 입자가 원점에 있다. $m_2 = m_3 = 4.0$ kg이 각각 $(0, a)$와 $(-2a, 0)$에 있다. $a = 0.020$ m일 때 $m_1$이 받는 알짜 힘은?

$\vec{F}_{12}$: $+y$ 방향

$$F_{12} = G\frac{m_1 m_2}{a^2} = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(6.0)(4.0)}{(0.020)^2} = 4.00 \times 10^{-6}\;\text{N}$$

$\vec{F}_{13}$: $-x$ 방향

$$F_{13} = G\frac{m_1 m_3}{(2a)^2} = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(6.0)(4.0)}{(0.040)^2} = 1.00 \times 10^{-6}\;\text{N}$$

예제 (계속): 알짜 힘 합성

성분: $\vec{F}_{12}$는 $+y$, $\vec{F}_{13}$은 $-x$ 방향. 따라서 $F_x = -1.00 \times 10^{-6}\,\text{N}$, $F_y = +4.00 \times 10^{-6}\,\text{N}$ → 제2사분면.

크기:

$$F_\text{net} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(1.00)^2 + (4.00)^2}\,\times 10^{-6}\;\text{N} = 4.12 \times 10^{-6}\;\text{N}$$

방향: 계산기의 $\tan^{-1}$은 분자/분모 부호를 잃고 결과를 1·4사분면(−90°~+90°)으로만 돌려준다.

$$\tan^{-1}\!\frac{F_y}{F_x} = \tan^{-1}\!\frac{4.00}{-1.00} = \tan^{-1}(-4.00) = -76° \quad (\text{1, 4사분면})$$

실제는 제2사분면이므로 $+180°$ 보정:

$$\theta = -76° + 180° = 104° \quad (+x\text{축에서 반시계 방향})$$

연속 분포로의 일반화

확장된 물체에 대해서는 미소 질량 $dm$에 의한 미소 힘 $d\vec{F}$를 적분:

$$\vec{F}_1 = \int d\vec{F}$$

균일한 구 또는 구형 껍질이면 구각 정리(shell theorem) 에 의해 질량이 중심에 모인 점입자처럼 취급할 수 있다. 다음 절에서 자세히.

13.3 지표면 근처의 중력

중력 가속도 $a_g$

지구(질량 $M$, 반지름 $R$)의 중심에서 거리 $r$에 있는 질량 $m$인 입자에 작용하는 중력:

$$F = G\frac{Mm}{r^2}$$

뉴턴의 제2법칙 $F = ma_g$ 에서:

$$a_g = \frac{GM}{r^2}$$

왜 $g$는 장소마다 다른가?

실제 지표면에서 측정하는 자유 낙하 가속도 $g$는 중력 가속도 $a_g$와 약간 다르다. 세 가지 원인:

1. 질량 분포가 불균일하다: 지구 내부의 밀도가 지역마다 다르므로, 지표면의 $a_g$도 장소에 따라 다르다.

2. 지구는 완전한 구가 아니다: 적도 반지름이 극 반지름보다 약 21 km 더 크다(타원체). 극지방이 중심에 더 가까우므로 $a_g$가 더 크다.

3. 지구가 자전한다: 지표면의 물체는 지구와 함께 원운동을 하므로, 구심 가속도가 필요하다.

지구 자전의 효과

적도에서, 체중계 위의 물체에 대한 뉴턴의 제2법칙:

$$F_N - ma_g = m(-\omega^2 R)$$

측정되는 무게 $mg = F_N$ 이므로:

$$mg = ma_g - m\omega^2 R$$

$$g = a_g - \omega^2 R$$

적도에서의 차이:

$$\omega^2 R = \left(\frac{2\pi}{24 \times 3600}\right)^2 \times 6.37 \times 10^6 \approx 0.034\;\text{m/s}^2$$

$a_g$에 비해 매우 작으므로 ($\approx 0.3\%$), 대부분의 경우 $g \approx a_g$로 근사한다.

무중량 vs. 무중력

ISS 고도(400 km)에서 $a_g \approx 8.7\;\text{m/s}^2$, 지상의 약 89 % 다. 우주 비행사가 둥둥 떠 있는 이유는 중력이 없어서가 아니라 우주 정거장과 함께 자유 낙하(원궤도) 하고 있기 때문이다. 중력이 모두 구심 가속을 만드는 데 쓰여 체중계가 0을 가리킨다(무중량 상태, weightless).

13.4 지구 내부의 중력

균일 밀도 구 내부

균일한 밀도 $\rho$인 구(질량 $M$, 반지름 $R$) 내부, 중심에서 거리 $r$인 지점에서의 중력:

구각 정리에 의해, 반지름 $r$ 바깥의 껍질은 힘을 작용하지 않는다. 반지름 $r$ 안쪽의 질량만 기여한다:

$$M_{\text{ins}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho = \frac{M}{R^3}r^3$$

따라서 질량 $m$에 작용하는 중력:

$$F = G\frac{m M_{\text{ins}}}{r^2} = G\frac{mM}{R^3}r$$

중심에서의 거리에 비례 한다! ($r = 0$이면 $F = 0$)

교재의 핵심 경고: 이것은 균일 밀도 지구 에 대한 이상화다. 실제 지구는 밀도가 중심으로 갈수록 커지므로, 지표면에서 안쪽으로 조금 내려갈 때는 중력이 오히려 증가할 수 있고, 어느 깊이 이후에 감소한다.

지구 중심을 관통하는 터널

만약 지구를 관통하는 터널이 있다면, 터널 안의 물체에 작용하는 힘:

$$\vec{F} = -\frac{GmM}{R^3}\vec{r} = -K\vec{r}$$

이것은 훅 법칙 ($\vec{F} = -k\vec{x}$)과 같은 형태이다!

따라서 물체는 지구 중심을 기준으로 단순조화운동(SHM) 을 한다.

주기:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84\;\text{min}$$

지구를 관통하는 직선 터널이 있으면 (양 끝 지점이 어디든) 출발지로부터 약 42분 만에 도착하는 SHM 반주기 운동이다.

13.5 중력 퍼텐셜에너지

일반적인 중력 퍼텐셜에너지

지금까지 $U = mgh$를 사용했지만, 이는 $g$가 일정한 지표면 근처에서만 유효하다.

일반적으로, 질량 $M$과 $m$이 거리 $r$만큼 떨어져 있을 때:

$$U = -\frac{GMm}{r}$$

기준점: $r \to \infty$에서 $U = 0$ (무한히 먼 곳이 기준)

$U = -GMm/r$ 의 유도

질량 $M$(지구)의 표면에서 공을 위로 던진다. 거리 $R$에서 무한대까지 중력이 한 일:

$$W = \int_R^{\infty} \vec{F}(r) \cdot d\vec{r} = \int_R^{\infty} \left(-\frac{GMm}{r^2}\right) dr$$

$$W = \left[\frac{GMm}{r}\right]_R^{\infty} = 0 - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{R}$$

$\Delta U = U_\infty - U_R = -W$ 이고, $U_\infty = 0$이므로:

$$U_R = W = -\frac{GMm}{R}$$

$R$을 일반적인 $r$로 바꾸면:

$$U(r) = -\frac{GMm}{r}$$

U(r)의 특성

• 항상 음수 ($r$이 유한한 한)
• $r \to \infty$이면 $U \to 0$
• $r$이 작을수록 $U$가 더 음수. 더 깊은 중력 우물(gravitational well)

경로 독립: 중력은 보존력이므로, $\Delta U$는 경로에 무관하고 시작점과 끝점의 위치에만 의존한다.

퍼텐셜에너지에서 힘을 구할 수도 있다:

$$F(r) = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr}\left(-\frac{GMm}{r}\right) = -\frac{GMm}{r^2}$$

음수 부호는 힘이 $r$이 줄어드는 방향(인력)임을 나타낸다.

여러 입자의 퍼텐셜에너지

교재에서 강조하는 점: 중력 퍼텐셜에너지는 한 물체의 소유물이 아니라 계(system) 의 에너지다. 입자가 여러 개이면 모든 쌍(pair)의 퍼텐셜에너지를 더한다.

세 입자 $m_1$, $m_2$, $m_3$에 대해서:

$$U = -G\left(\frac{m_1m_2}{r_{12}}+\frac{m_1m_3}{r_{13}}+\frac{m_2m_3}{r_{23}}\right)$$

• 힘은 벡터합: $\vec{F}_{\text{net}} = \sum \vec{F}_i$
• 퍼텐셜에너지는 스칼라합: $U_{\text{total}} = \sum U_{\text{pairs}}$
• 지구-공처럼 $M \gg m$이면 관습적으로 "공의 퍼텐셜에너지"라고 말해도 되지만, 정확히는 지구-공 계의 에너지 다.

탈출 속력 (Escape Speed)

질량 $M$, 반지름 $R$인 천체의 표면에서 물체를 쏘아 올릴 때, 무한히 멀리 보내려면 필요한 최소 속력:

에너지 보존:

$$K_i + U_i = K_f + U_f$$

$$\frac{1}{2}mv^2 + \left(-\frac{GMm}{R}\right) = 0 + 0$$

$$\boxed{v_\text{escape} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}}$$

여러 천체의 탈출 속력

• 탈출 속력은 방향에 무관 하다 (수직이든 비스듬히든)
• 지구의 탈출 속력 11.2 km/s $\approx$ 40,300 km/h (총알 속도의 약 14배)
• 실제 로켓은 지구 자전 속도를 보태기 위해 가능한 한 동쪽 방향으로 발사한다. 탈출 속력 자체가 바뀌는 것은 아니지만, 필요한 연료가 줄어든다.

13.6 행성과 위성: 케플러의 법칙

케플러의 세 법칙 (Kepler's Three Laws)

요하네스 케플러(Johannes Kepler, 1571-1630)는 티코 브라헤(Tycho Brahe)의 관측 데이터를 분석하여 행성 운동의 세 법칙을 발견했다. 나중에 뉴턴이 만유인력 법칙으로 이 세 법칙을 모두 유도했다.

제1법칙 (궤도의 법칙): 모든 행성은 태양을 한 초점(focus) 으로 하는 타원(ellipse) 궤도를 그린다.

제2법칙 (면적의 법칙): 태양과 행성을 잇는 선분은 같은 시간 동안 같은 면적을 쓸고 지나간다.

제3법칙 (주기의 법칙): 행성 주기의 제곱은 궤도 긴반지름의 세제곱에 비례한다.

제1법칙: 타원 궤도

타원의 주요 요소:

• 긴반지름(semimajor axis) $a$: 타원의 긴 축 절반
• 짧은반지름(semiminor axis) $b$: 타원의 짧은 축 절반
• 이심률(eccentricity) $e$: 타원의 찌그러진 정도 ($0 \leq e < 1$)
  • $e = 0$: 원
  • $e \to 1$: 매우 납작한 타원
• 근일점(perihelion) $R_p = a(1-e)$: 태양에 가장 가까운 점
• 원일점(aphelion) $R_a = a(1+e)$: 태양에서 가장 먼 점

지구 궤도의 이심률은 $e = 0.0167$로, 거의 원에 가깝다.

제2법칙: 면적 속도 일정

태양과 행성을 잇는 선분이 시간 $\Delta t$ 동안 쓸고 지나가는 면적 $\Delta A$:

$$\Delta A \approx \frac{1}{2}r^2 \Delta\theta$$

면적 속도(areal velocity):

$$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2\omega = \frac{1}{2}r^2 \frac{d\theta}{dt}$$

제2법칙과 각운동량 보존

행성의 각운동량(angular momentum) 은:

$$L = mr^2\omega$$

따라서:

$$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{일정}$$

케플러의 제2법칙은 각운동량 보존과 동치이다!

• 근일점에서: $r$이 작으면 $\omega$가 커야 한다. 빠르게 움직인다
• 원일점에서: $r$이 크면 $\omega$가 작아야 한다. 느리게 움직인다

제3법칙: 주기와 궤도 크기의 관계

원궤도(반지름 $r$)에서 유도하자. 중력 = 구심력:

$$G\frac{Mm}{r^2} = m\omega^2 r = m\frac{4\pi^2}{T^2}r$$

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$$

타원 궤도에서는 $r$을 긴반지름 $a$로 대체:

$$\boxed{T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3}$$

같은 중심 천체(질량 $M$)를 도는 모든 궤도에 대해, $T^2/a^3$은 일정 하다.

태양계 행성의 케플러 제3법칙

$T^2/a^3$이 거의 일정함을 확인할 수 있다!

예제: 초대질량 블랙홀

우리 은하 중심의 별 S2는 보이지 않는 천체(궁수자리 A*) 주위를 주기 $T = 15.2$ 년, 긴반지름 $a = 1.43 \times 10^{14}$ m인 궤도로 공전한다. 이 천체의 질량은?

$$M = \frac{4\pi^2 a^3}{GT^2} = \frac{4\pi^2(1.43 \times 10^{14})^3}{(6.67 \times 10^{-11})(15.2 \times 3.16 \times 10^7)^2} = 7.4 \times 10^{36}\;\text{kg}$$

이것은 태양 질량($M_\odot = 1.99 \times 10^{30}$ kg)의 약 370만 배 다!

이렇게 작은 영역에 이만큼의 질량이 있으므로 → 초대질량 블랙홀(supermassive black hole) 이다. 2020년 노벨 물리학상은 블랙홀 형성의 일반상대성 예측으로 로저 펜로즈(Penrose) 가 절반, 궁수자리 A* 관측으로 라인하르트 겐첼(Genzel) 과 안드레아 게즈(Ghez) 가 나머지 절반을 공동 수상했다.

13.7 인공위성: 궤도와 에너지

원궤도에서의 에너지

반지름 $r$인 원궤도를 도는 질량 $m$인 위성의 에너지를 구하자.

운동에너지

중력 = 구심력에서:

$$G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \implies v^2 = \frac{GM}{r}$$

운동에너지:

$$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}$$

퍼텐셜에너지:

$$U = -\frac{GMm}{r}$$

역학적 에너지:

$$E = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$$

궤도 에너지의 특성

원궤도에서의 중요한 관계:

$$K = -\frac{U}{2}, \quad E = -K = \frac{U}{2}$$

• $K > 0$ (항상 양수)
• $U < 0$ (항상 음수)
• $E < 0$. 속박 궤도(bound orbit) 의 조건. $|E|$ 는 시스템을 무한대까지 분리하는 데 필요한 최소 에너지, 즉 결합 에너지(binding energy) 다.
• $|U| = 2K$. 퍼텐셜에너지의 크기는 운동에너지의 2배

타원 궤도에서는 $r$을 긴반지름 $a$로 대체:

$$E = -\frac{GMm}{2a}$$

역학적 에너지는 긴반지름에만 의존 하고, 이심률 $e$에는 무관하다!

궤도의 종류와 에너지

물체의 역학적 에너지 $E$에 따라 궤도의 종류가 결정된다:

• $E < 0$: 속박 궤도. 위성이 중심 천체 주위를 영원히 돈다
• $E = 0$: 정확히 탈출 속력으로 발사. 무한히 멀리 가서 속력이 0이 됨
• $E > 0$: 탈출 후에도 남은 속력이 있음

13.8 아인슈타인과 중력

일반 상대성 이론의 관점

뉴턴의 중력 이론은 대부분의 상황에서 정확하지만, 아인슈타인의 일반 상대성 이론(general relativity, 1915) 은 중력을 근본적으로 다르게 설명한다.

• 뉴턴: 중력은 두 질량 사이의 힘 이다
• 아인슈타인: 중력은 질량에 의한 시공간의 곡률(curvature of spacetime) 이다

일반 상대성 이론의 검증:

• 수성의 세차(precession of Mercury): 뉴턴 이론 예측보다 매 세기 43"만큼 더 이동. 일반 상대성 이론이 정확히 설명
• 빛의 휨(bending of light): 1919년 일식 관측에서 확인
• 중력파(gravitational waves): 2015년 LIGO에서 최초 검출 (2017년 노벨상)
• GPS 보정: GPS 위성의 시계는 중력 시간 지연 효과를 보정해야 정확한 위치를 제공

Review & Summary

핵심 법칙과 공식

케플러 법칙과 궤도 에너지

기억할 것:

• 만유인력은 항상 인력이며, $r^2$에 반비례한다
• 구각 정리: 균일한 구 내부에서 바깥 껍질은 힘을 작용하지 않는다
• 중력 퍼텐셜에너지는 항상 음수이고, $r$이 커질수록 0에 가까워진다
• 케플러 제2법칙 = 각운동량 보존
• 속박 궤도의 조건: $E < 0$