12장: 평형과 탄성

Equilibrium and Elasticity

이번 장에서 배울 내용

• 평형(equilibrium) 의 조건: 알짜힘 = 0, 알짜 돌림힘 = 0
• 정적 평형(static equilibrium): 물체가 정지해 있고 회전하지 않는 상태
• 무게중심(center of gravity) 과 안정성
• 평형 문제 풀이 전략과 예제
• 탄성(elasticity): 응력과 변형률의 관계
• 영률(Young's modulus), 전단 탄성률, 체적 탄성률

왜 평형이 중요한가?

건물, 다리, 크레인 — 이 모든 구조물은 정적 평형 상태에 있어야 안전하다.

서울 잠실의 롯데월드타워 (555 m)는 지상에서 가장 높은 건물 중 하나다. 이 건물이 쓰러지지 않으려면, 모든 층에서 힘과 돌림힘의 균형이 맞아야 한다.

건설 현장의 타워크레인 은 수십 톤의 하중을 들어올리면서도 넘어지지 않아야 한다. 이것이 가능한 이유는 크레인 설계자가 평형 조건을 정밀하게 적용했기 때문이다.

12.1 평형의 조건

물체가 평형(equilibrium) 상태에 있으려면 두 가지 조건을 만족해야 한다.

병진 평형 (translational equilibrium):

$$\vec{F}_\text{net} = \sum \vec{F} = 0$$

회전 평형 (rotational equilibrium):

$$\vec{\tau}_\text{net} = \sum \vec{\tau} = 0$$

두 조건을 모두 만족하면 물체의 선운동량과 각운동량이 변하지 않는다.

정적 평형 vs. 동적 평형

정적 평형(static equilibrium):

• $\vec{F}_\text{net} = 0$, $\vec{\tau}_\text{net} = 0$
• 추가 조건: $\vec{v} = 0$, $\vec{\omega} = 0$ (정지해 있고 회전하지 않음)

동적 평형:

• $\vec{F}_\text{net} = 0$, $\vec{\tau}_\text{net} = 0$
• 일정한 속도로 운동하거나 일정한 각속도로 회전

이 장에서는 주로 정적 평형 을 다룬다.

성분별 평형 조건

2차원 문제에서 평형 조건을 성분으로 쓰면:

$$\sum F_x = 0$$

$$\sum F_y = 0$$

$$\sum \tau_z = 0$$

3개의 미지수를 구할 수 있는 3개의 방정식 이다.

참고: 돌림힘의 피벗(축)은 어디든 선택할 수 있다. 현명한 피벗 선택이 풀이를 단순하게 만든다!

12.2 무게중심

무게중심(center of gravity)이란?

중력은 물체의 모든 부분에 작용한다. 그러나 돌림힘 계산에서 중력은 무게중심(center of gravity, cog) 이라는 한 점에 집중된다고 생각할 수 있다.

$$x_\text{cog} = \frac{\sum m_i g_i x_i}{\sum m_i g_i}$$

중력 가속도 $g$가 물체 전체에서 균일하면 ($g_i = g$):

$$x_\text{cog} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} = x_\text{com}$$

무게중심 = 질량중심 (중력이 균일할 때)

안정성(Stability)

안정 평형, 불안정 평형, 중립 평형

안정 평형(stable equilibrium):

• 살짝 밀어도 복원력 이 작용하여 원래 위치로 돌아온다
• 무게중심이 지지점 아래 에 있는 경우

불안정 평형(unstable equilibrium):

• 살짝 밀면 평형에서 벗어나 돌아오지 않는다
• 무게중심이 지지점 위 에 있고, 좁은 꼭대기에 놓인 경우

중립 평형(neutral equilibrium):

• 어떤 위치로 옮겨도 새로운 평형이 된다
• 평면 위의 공

안정성의 핵심: 무게중심이 지지 기저면(base of support) 위에 있는 한, 물체는 안정하다. 무게중심의 수직선이 기저면 밖으로 나가면 넘어진다.

12.3 평형 문제 풀이 전략

풀이 순서

1. 물체 선택: 평형 상태에 있는 물체를 하나 선택한다
2. 자유 물체 다이어그램(FBD) 을 그린다: 모든 힘을 표시
3. 좌표축 설정: $x$, $y$ 축을 정한다
4. 피벗 선택: 돌림힘 방정식에서 미지력이 사라지도록 피벗을 선택
5. 방정식 세우기: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum \tau = 0$
6. 풀기: 미지수를 구한다

팁: 피벗을 미지력의 작용점에 놓으면, 그 힘의 돌림힘이 0이 되어 방정식이 간단해진다!

12.4 예제: 보 위의 블록

보 위의 블록: 풀이

균일한 보(질량 $m$, 길이 $L$)가 양쪽 끝에서 지지되고, 위치 $x$에 블록(질량 $M$)이 놓여 있다.

$\sum \tau = 0$ (왼쪽 끝 피벗):

$$F_R \cdot L - mg \cdot \frac{L}{2} - Mg \cdot x = 0$$

$$F_R = \frac{mg}{2} + \frac{Mg \cdot x}{L}$$

$\sum F_y = 0$:

$$F_L + F_R - mg - Mg = 0$$

$$F_L = (m + M)g - F_R = \frac{mg}{2} + Mg\left(1 - \frac{x}{L}\right)$$

블록이 오른쪽으로 갈수록 $F_R$ 증가, $F_L$ 감소!

12.5 예제: 크레인 붐

크레인 붐: 풀이

질량 $m$, 길이 $L$인 균일한 붐이 각도 $\theta$로 벽에 힌지 연결되어 있다. 끝에 질량 $M$의 하중이 매달려 있고, 수평 케이블이 붐의 끝과 벽을 연결한다.

$\sum \tau = 0$ (힌지 피벗):

$$T \cdot L\sin\theta - mg \cdot \frac{L}{2}\cos\theta - Mg \cdot L\cos\theta = 0$$

$$T = \frac{(m/2 + M)g\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{(m/2 + M)g}{\tan\theta}$$

$\sum F_x = 0$: $F_h = T$

$\sum F_y = 0$: $F_v = (m + M)g$

$\theta$가 작아질수록 (붐이 수평에 가까워질수록) 케이블 장력 $T$가 급격히 증가한다!

12.6 예제: 사다리 문제

사다리 문제: 풀이

질량 $m$, 길이 $L$인 균일한 사다리가 각도 $\theta$로 마찰 없는 벽에 기대어 있다. 바닥의 정지마찰계수는 $\mu_s$.

$\sum \tau = 0$ (바닥 접촉점 피벗):

$$F_w \cdot L\sin\theta - mg \cdot \frac{L}{2}\cos\theta = 0$$

$$F_w = \frac{mg\cos\theta}{2\sin\theta} = \frac{mg}{2\tan\theta}$$

$\sum F_x = 0$: $f = F_w$

$\sum F_y = 0$: $N = mg$

사다리가 미끄러지지 않을 조건

마찰력이 최대 정지마찰력보다 작아야 한다:

$$f \leq \mu_s N$$

$$\frac{mg}{2\tan\theta} \leq \mu_s \cdot mg$$

$$\frac{1}{2\tan\theta} \leq \mu_s$$

$$\tan\theta \geq \frac{1}{2\mu_s}$$

$$\theta \geq \arctan\left(\frac{1}{2\mu_s}\right)$$

사다리 각도가 이 최소 각도보다 작으면 미끄러진다!

12.7 탄성(Elasticity)

탄성이란?

실제 물체는 완전히 강체가 아니다. 힘을 가하면 변형(deformation) 이 생긴다.

• 탄성 변형: 힘을 제거하면 원래 모양으로 돌아옴
• 소성 변형: 힘을 제거해도 영구적으로 변형됨
• 파단: 변형이 한계를 넘으면 부러짐

세 가지 기본 변형:

12.8 응력과 변형률

응력(Stress)과 변형률(Strain)

응력(stress) $\sigma$: 단위 면적당 힘

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

단위: Pa (= N/m$^2$), 보통 MPa나 GPa 사용

변형률(strain) $\varepsilon$: 변형의 상대적 크기 (무차원)

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$$

인장과 압축 (Tension & Compression)

봉의 양 끝을 당기거나 누를 때:

응력: $\sigma = \frac{F}{A}$

변형률: $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$

영률(Young's modulus) $E$:

$$\sigma = E \varepsilon$$

$$\frac{F}{A} = E \frac{\Delta L}{L}$$

$$\Delta L = \frac{FL}{AE}$$

$E$가 클수록 같은 힘에 대해 덜 변형된다 (더 뻣뻣하다).

주요 재료의 영률

롯데월드타워 는 주로 강철과 콘크리트로 지어졌다. 강철은 인장에 강하고, 콘크리트는 압축에 강하다. 이 둘을 결합한 철근콘크리트 가 현대 건축의 핵심이다.

12.9 전단 탄성률과 체적 탄성률

전단(Shear)

물체의 면에 평행한 힘이 작용할 때:

전단 응력: $\sigma_s = \frac{F}{A}$

전단 변형률: $\varepsilon_s = \frac{\Delta x}{L}$

전단 탄성률(shear modulus) $G$:

$$\sigma_s = G \varepsilon_s \quad \Rightarrow \quad \frac{F}{A} = G \frac{\Delta x}{L}$$

체적(Hydraulic / Bulk)

모든 방향에서 균일한 압력이 작용할 때:

체적 응력: $\Delta p$ (압력 변화)

체적 변형률: $\frac{\Delta V}{V}$

체적 탄성률(bulk modulus) $B$:

$$\Delta p = -B \frac{\Delta V}{V}$$

음수 부호: 압력이 증가하면 부피가 감소하므로.

세 가지 탄성률 비교

세 경우 모두 선형 관계: 응력 $\propto$ 변형률 (탄성 한계 내에서)

이것은 훅 법칙 $F = kx$의 일반화이다!

12.10 응력-변형률 곡선

응력-변형률 곡선의 영역

1. 탄성 영역 (Elastic region):

• 응력-변형률이 선형 관계 ($\sigma = E\varepsilon$)
• 힘을 제거하면 원래로 돌아옴
• 기울기 = 영률 $E$

2. 항복점 (Yield point):

• 이 응력($S_y$)을 넘으면 영구 변형 시작

3. 소성 영역 (Plastic region):

• 영구 변형 발생, 힘을 제거해도 원래로 돌아가지 않음

4. 극한 강도 (Ultimate strength, $S_u$):

• 재료가 버틸 수 있는 최대 응력

5. 파단 (Fracture):

• 재료가 끊어짐

Review & Summary

평형 조건

탄성

기억할 것:

• 평형 문제의 핵심은 자유 물체 다이어그램 과 현명한 피벗 선택
• 돌림힘의 피벗은 어디든 자유롭게 선택할 수 있다
• 무게중심이 지지 기저면 안에 있으면 안정하다
• 응력-변형률 관계는 훅 법칙의 일반화
• 탄성 한계를 넘으면 영구 변형이 생긴다