9장: 질량중심과 선운동량

Center of Mass and Linear Momentum

이번 장에서 배울 내용

• 질량중심(center of mass): 입자계의 대표 위치
• 선운동량(linear momentum): $\vec{p} = m\vec{v}$
• 충격량(impulse) 과 충격량-운동량 정리
• 운동량 보존 법칙: 외력이 없으면 $\vec{p}$ 보존
• 탄성 충돌 과 비탄성 충돌 (1차원, 2차원)
• 로켓 추진: 변하는 질량 문제

왜 운동량을 배우나?

지금까지는 하나의 입자 에 대한 운동을 다뤘다.

하지만 현실에서는 여러 물체가 서로 상호작용한다:

• 당구 에서 공끼리 부딪힐 때
• 자동차 사고 에서 두 차량이 충돌할 때
• 누리호 로켓이 연료를 분사하며 가속할 때

이런 문제를 다루려면 운동량(momentum) 이라는 새로운 물리량이 필요하다.

9.1 질량중심

질량중심이란?

여러 입자로 이루어진 계(system)에는 특별한 점이 있다:

입자계 전체의 운동을 대표하는 점 — 질량중심(center of mass, com)

공중에서 회전하며 날아가는 야구 배트를 생각해 보자. 배트의 각 부분은 복잡하게 움직이지만, 질량중심 은 포물선 궤적을 따른다!

두 입자의 질량중심

질량 $m_1$, $m_2$인 두 입자가 $x_1$, $x_2$에 있을 때:

$$x_\text{com} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$$

질량이 큰 쪽에 가까운 곳에 질량중심이 위치한다.

$n$개 입자의 질량중심

$n$개 입자로 일반화하면:

$$x_\text{com} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i x_i$$

여기서 $M = \sum m_i$는 전체 질량이다.

3차원으로 확장하면:

$$\vec{r}_\text{com} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i$$

각 성분별로:

$$x_\text{com} = \frac{1}{M}\sum m_i x_i, \quad y_\text{com} = \frac{1}{M}\sum m_i y_i, \quad z_\text{com} = \frac{1}{M}\sum m_i z_i$$

연속 물체의 질량중심

질량이 연속적으로 분포한 물체의 경우, 합을 적분으로 바꾼다:

$$\vec{r}_\text{com} = \frac{1}{M} \int \vec{r} \, dm$$

각 성분:

$$x_\text{com} = \frac{1}{M}\int x \, dm, \quad y_\text{com} = \frac{1}{M}\int y \, dm$$

밀도가 균일하면 $dm = \rho \, dV$로 바꿀 수 있다.

대칭 을 활용하면 계산이 쉬워진다: 대칭축이 있으면 질량중심은 그 축 위에 있다.

9.2 입자계에 대한 뉴턴 제2법칙

질량중심의 운동

질량중심의 위치를 시간으로 미분하면:

$$M\vec{v}_\text{com} = \sum m_i \vec{v}_i$$

한 번 더 미분하면:

$$M\vec{a}_\text{com} = \sum m_i \vec{a}_i = \sum \vec{F}_i$$

내부 힘(작용·반작용)은 서로 상쇄되므로:

$$\vec{F}_\text{net, ext} = M\vec{a}_\text{com}$$

입자계에 작용하는 알짜 외력 은 전체 질량이 질량중심에 모여 있는 하나의 입자에 작용하는 것과 같다!

질량중심 운동의 의미

복잡한 입자계도 질량중심 에 주목하면 단순해진다:

• 불꽃놀이 폭죽이 공중에서 터져도, 파편들의 질량중심은 포물선을 유지한다
• 피겨 스케이팅 선수가 회전해도 질량중심의 궤적은 뉴턴 법칙을 따른다

외력이 0이면:

$$\vec{a}_\text{com} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{v}_\text{com} = \text{일정}$$

9.3 선운동량

선운동량의 정의

질량 $m$, 속도 $\vec{v}$인 입자의 선운동량(linear momentum):

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

• 벡터 이다 (방향은 속도와 같다)
• 단위: $\text{kg} \cdot \text{m/s}$
• 속력이 같더라도 질량이 크면 운동량이 크다

뉴턴 제2법칙과 운동량

뉴턴 제2법칙을 운동량으로 다시 쓰면:

$$\vec{F}_\text{net} = m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

알짜힘 = 운동량의 시간 변화율

사실 이것이 뉴턴이 원래 표현한 제2법칙의 형태다!

질량이 변하는 문제(로켓 등)에서는 이 형태가 더 일반적이다.

입자계의 선운동량

$n$개 입자로 이루어진 계의 총 운동량:

$$\vec{P} = \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{v}_i = M\vec{v}_\text{com}$$

이를 미분하면:

$$\frac{d\vec{P}}{dt} = M\vec{a}_\text{com} = \vec{F}_\text{net, ext}$$

외력이 없으면 ($\vec{F}_\text{net, ext} = 0$):

$$\vec{P} = \text{일정} \quad (\text{운동량 보존})$$

9.4 충돌과 충격량

충격량(impulse)이란?

야구 방망이로 공을 칠 때, 매우 짧은 시간 동안 매우 큰 힘이 작용한다.

충격량(impulse) $\vec{J}$는 힘의 시간 적분:

$$\vec{J} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t)\, dt$$

충격량-운동량 정리

뉴턴 제2법칙 $\vec{F} = d\vec{p}/dt$를 적분하면:

$$\vec{J} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}\, dt = \int_{p_i}^{p_f} d\vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = \Delta\vec{p}$$

충격량 = 운동량의 변화

$$\vec{J} = \Delta\vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$$

이것을 충격량-운동량 정리(impulse-momentum theorem) 라 한다.

평균 힘

충격량은 평균 힘 으로도 표현할 수 있다:

$$\vec{J} = \vec{F}_\text{avg} \Delta t$$

여기서 $\Delta t = t_f - t_i$는 충돌 시간이다.

같은 충격량이라도:

• $\Delta t$가 짧으면 → $F_\text{avg}$가 크다 (딱딱한 바닥)
• $\Delta t$가 길면 → $F_\text{avg}$가 작다 (에어백, 매트)

자동차 에어백 은 충돌 시간을 늘려서 평균 힘을 줄이는 장치다!

9.5 운동량 보존 법칙

유도

두 입자가 서로 충돌할 때, 외부에서 작용하는 힘이 없다면:

$$\vec{F}_\text{net, ext} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d\vec{P}}{dt} = 0$$

따라서:

$$\vec{P}_i = \vec{P}_f$$

$$m_1\vec{v}_{1i} + m_2\vec{v}_{2i} = m_1\vec{v}_{1f} + m_2\vec{v}_{2f}$$

외력이 없는 계에서, 총 운동량은 보존된다.

이것이 운동량 보존 법칙(conservation of linear momentum) 이다.

운동량 보존의 적용 조건

운동량 보존이 성립하려면:

1. 계(system)를 잘 정의 해야 한다 — 상호작용하는 물체를 모두 포함
2. 알짜 외력이 0 이어야 한다
3. 특정 방향으로만 외력이 0이면, 그 방향의 운동량만 보존 된다

예시: 마찰 없는 수평면에서의 충돌

• 수직 방향: 수직항력과 중력이 상쇄 → 외력 0
• 수평 방향: 외력 없음 → 수평 운동량 보존!

9.6 운동량과 운동에너지

충돌의 종류

충돌은 운동에너지 보존 여부에 따라 분류한다:

모든 충돌에서 운동량은 보존 된다 (외력 없을 때).

운동에너지는 탄성 충돌 에서만 보존된다.

9.7 1차원 탄성 충돌

두 보존법칙

1차원 탄성 충돌에서는 두 가지 보존법칙을 동시에 적용:

운동량 보존:

$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$$

운동에너지 보존:

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2f}^2$$

미지수 2개 ($v_{1f}$, $v_{2f}$), 방정식 2개 → 풀 수 있다!

풀이: 상세 유도

표적이 정지($v_{2i} = 0$)인 경우를 풀어보자.

출발점 — 두 보존법칙을 정리하면:

$$m_1 v_{1i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} \quad \cdots (1)$$

$$m_1 v_{1i}^2 = m_1 v_{1f}^2 + m_2 v_{2f}^2 \quad \cdots (2)$$

(에너지 식에서 $\frac{1}{2}$은 양변에서 약분했다.)

풀이: 핵심 트릭

식 (1)과 (2)를 각각 "입사체 항끼리 모으면":

$$m_1(v_{1i} - v_{1f}) = m_2 v_{2f} \quad \cdots (1')$$

$$m_1(v_{1i}^2 - v_{1f}^2) = m_2 v_{2f}^2 \quad \cdots (2')$$

식 (2')의 좌변을 인수분해 한다:

$$m_1(v_{1i} - v_{1f})(v_{1i} + v_{1f}) = m_2 v_{2f}^2 \quad \cdots (2'')$$

풀이: 식 나누기

식 (2'')을 식 (1')으로 나눈다:

$$\frac{m_1(v_{1i} - v_{1f})(v_{1i} + v_{1f})}{m_1(v_{1i} - v_{1f})} = \frac{m_2 v_{2f}^2}{m_2 v_{2f}}$$

양변이 깔끔하게 약분되어:

$$\boxed{v_{1i} + v_{1f} = v_{2f}} \quad \cdots (3)$$

이 결과는 탄성 충돌에서 상대속도가 반전 된다는 의미다.

충돌 전 접근 속도 $v_{1i} - v_{2i} = v_{1i}$와 충돌 후 이탈 속도 $v_{2f} - v_{1f}$가 같다!

풀이: 연립방정식 풀기

이제 식 (1)과 (3)만으로 풀면 된다. (에너지 조건이 간단한 관계식 (3)으로 바뀌었다!)

식 (3)에서 $v_{2f} = v_{1i} + v_{1f}$를 식 (1)에 대입:

$$m_1 v_{1i} = m_1 v_{1f} + m_2(v_{1i} + v_{1f})$$

$$m_1 v_{1i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{1i} + m_2 v_{1f}$$

$$m_1 v_{1i} - m_2 v_{1i} = (m_1 + m_2) v_{1f}$$

$$(m_1 - m_2) v_{1i} = (m_1 + m_2) v_{1f}$$

$$\boxed{v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\, v_{1i}}$$

풀이: $v_{2f}$ 구하기

$v_{1f}$를 식 (3)에 대입하면:

$$v_{2f} = v_{1i} + v_{1f} = v_{1i} + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\, v_{1i}$$

$$= v_{1i}\left(1 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)$$

$$= v_{1i}\left(\frac{m_1 + m_2 + m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)$$

$$\boxed{v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\, v_{1i}}$$

특수한 경우들

1. 같은 질량 ($m_1 = m_2$):

$$v_{1f} = 0, \quad v_{2f} = v_{1i}$$

입사 입자가 완전히 정지하고, 표적이 같은 속도로 날아간다. 당구공 의 정면 충돌!

2. 무거운 입자가 가벼운 표적에 충돌 ($m_1 \gg m_2$):

$$v_{1f} \approx v_{1i}, \quad v_{2f} \approx 2v_{1i}$$

입사 입자는 거의 그대로, 표적은 2배 속도로 튕겨나간다. 볼링공과 탁구공

3. 가벼운 입자가 무거운 표적에 충돌 ($m_1 \ll m_2$):

$$v_{1f} \approx -v_{1i}, \quad v_{2f} \approx 0$$

입사 입자가 되튕긴다. 벽에 튀는 공

9.8 1차원 비탄성 충돌

완전 비탄성 충돌

두 물체가 충돌 후 결합 하여 함께 움직이는 경우, 충돌 후 속도가 하나($v_f$)다.

운동량 보존만 적용하면 된다 (운동에너지는 보존되지 않으므로):

$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2) v_f$$

양변을 $(m_1 + m_2)$로 나누면:

$$\boxed{v_f = \frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2}}$$

이것은 질량 가중 평균 이다 — 질량중심의 속도와 같다!

운동에너지 손실: 상세 유도

표적이 정지($v_{2i} = 0$)인 경우를 상세히 유도하자.

충돌 후 속도:

$$v_f = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\, v_{1i}$$

충돌 전 운동에너지:

$$K_i = \frac{1}{2}m_1 v_{1i}^2$$

충돌 후 운동에너지:

$$K_f = \frac{1}{2}(m_1 + m_2) v_f^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2) \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right)^2 v_{1i}^2$$

$$= \frac{1}{2}\frac{m_1^2}{m_1 + m_2}\, v_{1i}^2$$

운동에너지 손실: 결과

운동에너지 변화량:

$$\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}\frac{m_1^2}{m_1 + m_2}\, v_{1i}^2 - \frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2$$

$$= \frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2} - 1\right)$$

$$= \frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 \left(\frac{m_1 - m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)$$

$$\boxed{\Delta K = -\frac{1}{2}\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\, v_{1i}^2}$$

$\Delta K < 0$ 이므로 운동에너지가 항상 감소 한다!

잃어버린 운동에너지는 열, 소리, 변형 등으로 변환된다.

에너지 손실 비율

손실 비율을 구해보면:

$$\frac{|\Delta K|}{K_i} = \frac{\frac{1}{2}\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} v_{1i}^2}{\frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}$$

• 같은 질량 ($m_1 = m_2$): 50%의 에너지 손실
• 트럭이 승용차를 받으면 ($m_1 \gg m_2$): 손실 비율 ≈ $m_2/m_1$ (작다)
• 승용차가 트럭에 부딪히면 ($m_1 \ll m_2$): 손실 비율 ≈ 1 (거의 전부 손실!)

자동차 충돌 사고에서 차가 크게 찌그러질수록 더 많은 에너지가 변형에 흡수되어 탑승자에게 전달되는 충격이 줄어든다. 이것이 크럼플 존(crumple zone) 설계의 원리다.

9.9 2차원 충돌

2차원 탄성 충돌: 설정

$m_1$이 속도 $v_{1i}$로 $x$축을 따라 입사하고, $m_2$는 정지($v_{2i}=0$).

충돌 후 $m_1$은 $\theta_1$, $m_2$는 $-\theta_2$ 방향으로 산란된다.

미지수는 $v_{1f}$, $v_{2f}$, $\theta_1$, $\theta_2$의 4개 이다.

2차원 탄성 충돌: 보존법칙

방정식은 3개다:

$x$방향 운동량 보존:

$$m_1 v_{1i} = m_1 v_{1f}\cos\theta_1 + m_2 v_{2f}\cos\theta_2 \quad \cdots (1)$$

$y$방향 운동량 보존:

$$0 = m_1 v_{1f}\sin\theta_1 - m_2 v_{2f}\sin\theta_2 \quad \cdots (2)$$

운동에너지 보존:

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2f}^2 \quad \cdots (3)$$

미지수 4개, 방정식 3개 → 하나의 변수(예: $\theta_1$)를 알아야 나머지를 결정할 수 있다.

같은 질량의 경우: $\theta_1 + \theta_2 = 90°$ 유도

$m_1 = m_2 = m$으로 놓으면 보존법칙이 간단해진다.

운동량 보존 (벡터 식):

$$\vec{v}_{1i} = \vec{v}_{1f} + \vec{v}_{2f}$$

양변을 제곱 한다 (내적을 취한다):

$$v_{1i}^2 = |\vec{v}_{1f} + \vec{v}_{2f}|^2 = v_{1f}^2 + v_{2f}^2 + 2\vec{v}_{1f}\cdot\vec{v}_{2f}$$

$\theta_1 + \theta_2 = 90°$ 유도 (계속)

운동에너지 보존 ($m$ 약분):

$$v_{1i}^2 = v_{1f}^2 + v_{2f}^2 \quad \cdots (3')$$

운동량 제곱 결과와 에너지 보존을 비교하면:

$$v_{1f}^2 + v_{2f}^2 + 2\vec{v}_{1f}\cdot\vec{v}_{2f} = v_{1f}^2 + v_{2f}^2$$

따라서:

$$\vec{v}_{1f}\cdot\vec{v}_{2f} = 0$$

두 최종 속도 벡터의 내적이 0 → 두 벡터는 수직 이다!

$$\boxed{\theta_1 + \theta_2 = 90°}$$

같은 질량 2차원 탄성 충돌: 풀이

$\theta_1$이 주어지면 $\theta_2 = 90° - \theta_1$이므로, 모든 미지수를 구할 수 있다.

식 (2)에서: $v_{1f}\sin\theta_1 = v_{2f}\sin\theta_2 = v_{2f}\cos\theta_1$

$$\frac{v_{1f}}{v_{2f}} = \frac{\cos\theta_1}{\sin\theta_1} = \cot\theta_1$$

식 (3')에 대입하면:

$$v_{1f} = v_{1i}\cos\theta_1, \quad v_{2f} = v_{1i}\sin\theta_1$$

이것은 당구 에서 자주 관찰할 수 있다. 한 공이 다른 정지 공에 비스듬히 맞으면, 두 공의 진행 방향이 항상 90도를 이룬다.

9.10 가변 질량 계: 로켓

로켓의 원리

로켓은 질량이 변하는 계 의 대표적 예이다.

연료를 분사하면 로켓의 질량이 줄어들면서 속도가 증가한다.

기호 정의

• $M$: 로켓의 질량 (연료 포함, 시간에 따라 감소)
• $dM < 0$: 로켓 질량의 변화량 (연료를 분출하면 감소 하므로 음수)
• $-dM > 0$: 분출된 연료의 질량
• $v_\text{rel} > 0$: 배기가스의 로켓 대비 속력 (항상 양수)
• 배기가스의 지면 기준 속도: $v - v_\text{rel}$ (로켓 진행 반대 방향)

로켓 방정식 유도

시각 $t$: 질량 $M$인 로켓이 속도 $v$로 운동

시각 $t + dt$: 로켓 질량이 $M + dM$으로 변함 ($dM < 0$), 분출된 가스 질량은 $-dM > 0$

운동량 보존 (외력 무시):

$$Mv = (M + dM)(v + dv) + (-dM)(v - v_\text{rel})$$

전개하면 ($dM\,dv$ 이차항 무시):

$$Mv = Mv + M\,dv + dM\,v + \cancel{dM\,dv} - dM\,v + dM\,v_\text{rel}$$

$$0 = M\,dv + dM\,v_\text{rel}$$

$$\boxed{M\,dv = -v_\text{rel}\,dM}$$

$dM < 0$, $v_\text{rel} > 0$ 이므로 $-v_\text{rel}\,dM > 0$ → $dv > 0$ ✓ — 로켓이 가속한다!

치올코프스키 로켓 방정식

$M\,dv = -v_\text{rel}\,dM$에서 바로 적분한다. 로켓 질량이 $M_i$에서 $M_f$로 변할 때 ($M_f < M_i$):

$$dv = -v_\text{rel}\,\frac{dM}{M}$$

$$\int_{v_i}^{v_f} dv = -v_\text{rel} \int_{M_i}^{M_f} \frac{dM}{M} = -v_\text{rel}\left[\ln M_f - \ln M_i\right]$$

$$\boxed{v_f - v_i = v_\text{rel} \ln\frac{M_i}{M_f}}$$

이것이 치올코프스키 로켓 방정식(Tsiolkovsky rocket equation) 이다.

• $v_\text{rel} > 0$: 배기가스의 로켓 대비 속력
• $M_i / M_f > 1$: 질량비 → $\ln > 0$ → $\Delta v > 0$ ✓

로켓 방정식의 의미

$$\Delta v = v_\text{rel} \ln\frac{M_i}{M_f}$$

• 배기 속도 $v_\text{rel}$이 클수록 더 빨라진다
• 질량비 $M_i/M_f$가 클수록 더 빨라진다 (연료 비율이 높을수록)
• $\ln$ 함수이므로, 속도를 2배로 늘리려면 질량비가 제곱 이 되어야 한다

누리호(KSLV-II) 는 3단 로켓이다. 단 분리를 하는 이유는, 빈 연료 탱크를 버려서 $M_f$를 줄이고 질량비를 키우기 위해서다. 1단 엔진 4기(75톤 추력 × 4), 배기 속도 약 3 km/s.

추력(Thrust)

$M\,dv = -v_\text{rel}\,dM$의 양변을 $dt$로 나누면:

$$M\frac{dv}{dt} = -v_\text{rel}\frac{dM}{dt}$$

$R = -dM/dt > 0$은 연료 분출율 (단위 시간당 분출 질량)이다. ($dM/dt < 0$이므로 부호 반전)

로켓 엔진의 추력(thrust):

$$\boxed{T = v_\text{rel}\,R}$$

$v_\text{rel} > 0$, $R > 0$이므로 $T > 0$ ✓

외부 중력을 고려하면:

$$Ma = T - Mg = v_\text{rel}\,R - Mg$$

추력이 중력보다 커야 이륙할 수 있다: $T > Mg$.

Review & Summary

핵심 개념

핵심 개념 (계속)

기억할 것:

• 운동량은 벡터 다 — 방향이 중요!
• 모든 충돌 에서 운동량은 보존 (외력 없을 때)
• 운동에너지는 탄성 충돌 에서만 보존
• 로켓은 운동량 보존의 응용 — 연료를 뒤로 보내 앞으로 간다