2장: 직선 운동

Motion Along a Straight Line

이번 장에서 배울 내용

위치(position) 와 변위(displacement): 물체가 어디에 있고, 얼마나 이동했는가
평균 속도(average velocity) 와 순간 속도(instantaneous velocity)
가속도(acceleration): 속도가 변하는 비율
등가속도 운동 의 5가지 공식 — 완전 유도
자유 낙하(free fall): $a = -g$ 인 특수한 등가속도 운동
그래프로 이해하는 운동: $x$ - $t$ , $v$ - $t$ , $a$ - $t$ 그래프

운동학이란?

운동학(kinematics) 은 물체의 운동을 기술하는 학문이다.

이 장에서는 가장 단순한 경우부터 시작한다:

물체를 입자(particle) 로 취급 (크기 무시)
직선 위 에서만 운동 (1차원)
"왜 움직이는가?"는 묻지 않는다 → 그건 힘과 뉴턴 법칙(4장)의 영역

예: KTX가 서울에서 부산까지 달리는 상황에서, KTX의 길이(약 388 m)는 서울-부산 거리(약 400 km)에 비해 무시할 수 있으므로 입자로 취급한다.

2.1 위치와 변위

위치(Position)

1차원 운동을 기술하려면 먼저 좌표축 을 정해야 한다.

원점(origin) $O$ 를 정하고
양의 방향 을 정한다 (보통 오른쪽)
물체의 위치 $x$ 는 원점에서 물체까지의 거리(부호 포함)

변위(Displacement)

물체가 위치 $x_1$ 에서 $x_2$ 로 이동했을 때, 변위 :

$\Delta x = x_2 - x_1$

$\Delta x > 0$ : 양의 방향으로 이동
$\Delta x < 0$ : 음의 방향으로 이동
변위는 벡터 적 개념 — 크기와 방향이 있다

변위 ≠ 이동 거리(distance)

서울 지하철 2호선을 한 바퀴 타면 이동 거리는 약 48 km이지만, 변위는 0이다!

2.2 평균 속도와 평균 속력

평균 속도(Average Velocity)

시간 $\Delta t = t_2 - t_1$ 동안 변위 $\Delta x$ 를 이동했을 때:

$v_\text{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$

$x$ - $t$ 그래프에서 평균 속도는 두 점을 잇는 할선(secant line) 의 기울기다.

평균 속력(Average Speed)

$s_\text{avg} = \frac{\text{총 이동 거리}}{\Delta t}$

평균 속력은 스칼라 이다 (항상 ≥ 0)
평균 속도와 일반적으로 다르다!

예시: KTX가 서울 → 부산(400 km)을 2시간 20분에 주파하면

$s_\text{avg} = \frac{400 \text{ km}}{2.33 \text{ h}} \approx 172 \text{ km/h}$

만약 되돌아왔다면 평균 속도는 0이지만, 평균 속력은 172 km/h이다.

2.3 순간 속도

순간 속도(Instantaneous Velocity)

$\Delta t$ 를 점점 줄여 0에 가깝게 하면:

$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$

순간 속도는 위치의 시간 미분 이다.

$x$ - $t$ 그래프에서 순간 속도는 해당 점에서의 접선(tangent line) 의 기울기다.

순간 속력(Instantaneous Speed)

순간 속력(speed) 은 순간 속도의 크기:

$\text{speed} = |v|$

속도가 양이면 양의 방향, 음이면 음의 방향으로 운동 중이다.

2.4 가속도

평균 가속도(Average Acceleration)

속도가 변하면 물체는 가속 한다.

시간 $\Delta t$ 동안 속도가 $v_1$ 에서 $v_2$ 로 변할 때:

$a_\text{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$

순간 가속도(Instantaneous Acceleration)

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}$

가속도는 속도의 시간 미분 이고, 위치의 이계 미분 이다.

$v$ - $t$ 그래프에서 가속도는 접선의 기울기 다.

$a > 0$ : 속도가 양의 방향으로 증가
$a < 0$ : 속도가 음의 방향으로 증가 (양의 방향으로 감소)

주의: "감속"이라고 해서 $a < 0$ 인 것은 아니다. 감속은 $|v|$ 가 줄어드는 것이므로, $v$ 와 $a$ 의 부호가 반대일 때 감속이다.

2.5 등가속도 운동

가속도가 일정한 경우: $a = \text{const}$

이 특수한 경우에 5개의 기본 공식이 존재한다. 하나씩 유도해 보자.

공식 1: 속도-시간 관계

가속도의 정의에서 출발:

$a = \frac{dv}{dt} = \text{const}$

$t = 0$ 일 때 $v = v_0$ 으로 적분하면:

$\int_{v_0}^{v} dv' = \int_0^t a\, dt'$

$v - v_0 = at$

$\boxed{v = v_0 + at} \quad \cdots (1)$

속도는 시간에 대해 선형 으로 변한다.

공식 2: 위치-시간 관계

속도의 정의에서:

$v = \frac{dx}{dt}$

공식 (1)을 대입하고, $t = 0$ 일 때 $x = x_0$ 으로 적분:

$\int_{x_0}^{x} dx' = \int_0^t (v_0 + at')\, dt'$

$x - x_0 = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

$\boxed{x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2} \quad \cdots (2)$

위치는 시간에 대한 이차함수(포물선) 이다.

공식 3: 속도-위치 관계 (시간 소거)

공식 (1)에서 $t = \frac{v - v_0}{a}$ 를 공식 (2)에 대입:

$x - x_0 = v_0 \cdot \frac{v - v_0}{a} + \frac{1}{2}a \left(\frac{v - v_0}{a}\right)^2$

$x - x_0 = \frac{v_0 v - v_0^2}{a} + \frac{(v - v_0)^2}{2a}$

$2a(x - x_0) = 2v_0 v - 2v_0^2 + v^2 - 2v_0 v + v_0^2$

$2a(x - x_0) = v^2 - v_0^2$

$\boxed{v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)} \quad \cdots (3)$

시간 $t$ 가 등장하지 않으므로, $t$ 를 모를 때 유용하다.

공식 4, 5: 평균 속도 활용

등가속도 운동에서 평균 속도 :

$\boxed{v_\text{avg} = \frac{v_0 + v}{2}} \quad \cdots (4)$

변위를 평균 속도로 표현:

$\boxed{x - x_0 = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t} \quad \cdots (5)$

등가속도 운동 5대 공식 정리

번호	공식	포함하지 않는 변수
(1)	$v = v_0 + at$	$x$
(2)	$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$	$v$
(3)	$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$	$t$
(4)	$v_\text{avg} = \frac{v_0 + v}{2}$	$x, t$
(5)	$x - x_0 = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$	$a$

5개의 변수 ( $x$ , $v$ , $a$ , $t$ , $v_0$ ) 중 3개 를 알면 나머지 2개를 구할 수 있다.

등가속도 직선 운동 시뮬레이션

2.6 자유 낙하

자유 낙하(Free Fall)란?

자유 낙하 란 중력만 작용하는 운동이다.

공기 저항을 무시하면, 모든 물체는 질량에 관계없이 같은 가속도 로 낙하한다
이 가속도를 중력가속도 라 부르고 $g$ 로 표기한다

$g = 9.8 \text{ m/s}^2 \approx 10 \text{ m/s}^2$

자유 낙하에서의 좌표계

$y$ 축을 위쪽을 양의 방향 으로 잡으면:

$a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2$

등가속도 공식에서 $x \to y$ , $a \to -g$ 로 바꾸면:

$v = v_0 - gt$

$y = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$

$v^2 = v_0^2 - 2g(y - y_0)$

위로 던진 물체

초기 속도 $v_0 > 0$ (위쪽)으로 공을 던지면:

상승 구간: 속도 감소, $v > 0$
최고점: $v = 0$ → $t_\text{peak} = \frac{v_0}{g}$
하강 구간: 속도 증가 (아래로), $v < 0$

최고점 높이:

$y_\text{max} = y_0 + \frac{v_0^2}{2g}$

63빌딩 옥상(높이 약 250 m)에서 공을 가만히 놓으면 지면에 닿을 때 속력은?

$v^2 = 0 + 2(9.8)(250) = 4900$

$v = 70$ m/s $\approx 252$ km/h

위로 던진 물체의 그래프

$y$ - $t$ : 아래로 볼록한 포물선 (최고점에서 $v = 0$ )
$v$ - $t$ : 기울기 $-g$ 인 직선 (음의 기울기)
상승/하강 시 가속도는 항상 $-g$ (변하지 않는다!)

자유 낙하 시뮬레이션

2.7 그래프로 이해하는 적분

v-t 그래프의 넓이 = 변위

속도의 정의 $v = dx/dt$ 에서:

$dx = v\, dt$

양변을 $t_1$ 에서 $t_2$ 까지 적분:

$\Delta x = x_2 - x_1 = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\, dt$

$v$ - $t$ 그래프에서 곡선과 시간축 사이의 넓이 가 변위다.

a-t 그래프의 넓이 = 속도 변화

마찬가지로 $a = dv/dt$ 에서:

$\Delta v = v_2 - v_1 = \int_{t_1}^{t_2} a(t)\, dt$

$a$ - $t$ 그래프에서 곡선과 시간축 사이의 넓이 가 속도의 변화량이다.

그래프 해석 정리

그래프	기울기의 의미	넓이의 의미
$x$ - $t$	순간 속도 $v$	—
$v$ - $t$	순간 가속도 $a$	변위 $\Delta x$
$a$ - $t$	—	속도 변화 $\Delta v$

이 관계를 잘 기억하면 그래프만 보고도 운동을 분석할 수 있다!

Review & Summary

핵심 개념

개념	공식
변위	$\Delta x = x_2 - x_1$
평균 속도	$v_\text{avg} = \Delta x / \Delta t$
순간 속도	$v = dx/dt$
평균 가속도	$a_\text{avg} = \Delta v / \Delta t$
순간 가속도	$a = dv/dt = d^2x/dt^2$

등가속도 운동 공식

공식
$v = v_0 + at$
$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$
$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$
$x - x_0 = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

자유 낙하: $a = -g = -9.8$ m/s² (위를 양의 방향으로 잡을 때)

기억할 것:

변위와 이동 거리는 다르다
속도는 벡터, 속력은 스칼라
$x$ - $t$ 기울기 = $v$ , $v$ - $t$ 기울기 = $a$
$v$ - $t$ 넓이 = $\Delta x$ , $a$ - $t$ 넓이 = $\Delta v$