18장: 온도, 열, 열역학 제1법칙

Temperature, Heat, and the First Law of Thermodynamics

이번 장에서 배울 내용

• 온도(temperature) 와 열평형(thermal equilibrium)
• 열역학 제0법칙(zeroth law): 온도 측정의 기초
• 온도 척도: 켈빈(K), 섭씨(°C), 화씨(°F) 사이의 변환
• 열팽창(thermal expansion): 선팽창과 부피 팽창
• 열(heat) 과 비열(specific heat), 상변화의 열(heat of transformation)
• 열역학 제1법칙(first law): $\Delta E_\text{int} = Q - W$
• 열전달 메커니즘: 전도, 대류, 복사

왜 열역학이 중요한가?

겨울에 손이 시리면 손난로를 쥔다. 뜨거운 라면 냄비는 맨손으로 잡을 수 없다. 이 모든 현상의 뒤에는 열에너지(thermal energy) 의 이동이 있다.

• 건물의 단열 설계
• 자동차 엔진의 효율
• 스마트폰 발열 관리
• 기후 변화와 지구 온난화

이 장에서는 온도 가 무엇인지, 열 이 어떻게 전달되는지, 그리고 에너지 보존을 열역학적 과정에 적용하는 열역학 제1법칙 을 배운다.

18.1 온도

온도란?

온도(temperature) 는 7개의 SI 기본 단위 중 하나로, 물체의 뜨겁고 차가운 정도를 나타내는 물리량이다.

• 온도는 온도계(thermometer) 로 측정한다
• 온도계는 온도에 따라 변하는 물리적 성질(길이, 부피, 저항, 압력 등)을 이용한다

열평형과 열역학 제0법칙

두 물체를 접촉시키면, 시간이 지남에 따라 두 물체의 온도는 같아진다. 이 상태를 열평형(thermal equilibrium) 이라 한다.

열역학 제0법칙(zeroth law of thermodynamics):

물체 $A$와 $B$가 각각 제3의 물체 $T$와 열평형 상태에 있으면, $A$와 $B$도 서로 열평형 상태에 있다.

이 법칙이 중요한 이유: 온도 라는 개념의 존재를 보장한다. 온도계($T$)를 두 물체에 각각 대어 같은 눈금을 보이면, 두 물체의 온도가 같다고 결론 내릴 수 있다.

켈빈 척도와 삼중점

SI 단위계에서 온도는 켈빈(K) 으로 측정한다.

• 기준점: 물의 삼중점(triple point of water) = 273.16 K
• 이 온도에서 물의 고체, 액체, 기체가 공존한다
• 절대영도(absolute zero) = 0 K: 도달 가능한 가장 낮은 온도

정밀한 온도 측정에는 정적 기체 온도계(constant-volume gas thermometer) 를 사용한다:

$$T = (273.16 \text{ K})\left(\lim_{\text{gas}\to 0}\frac{p}{p_3}\right)$$

여기서 $p$는 측정 온도에서의 기체 압력, $p_3$는 삼중점에서의 기체 압력이다.

어떤 기체를 사용하든 같은 온도에 수렴한다. 이것이 이상 기체 온도(ideal gas temperature) 이다.

18.2 섭씨와 화씨 척도

온도 척도 비교

변환 공식

켈빈 ↔ 섭씨:

$$T_C = T - 273.15$$

여기서 $T$는 켈빈 온도이다. 켈빈과 섭씨의 눈금 크기 는 같다: $\Delta T(\text{K}) = \Delta T(°\text{C})$.

섭씨 ↔ 화씨:

$$T_F = \frac{9}{5}T_C + 32$$

참고: 온도 차이 의 크기는 섭씨와 켈빈이 같다 ($1 \text{ C}° = 1 \text{ K}$), 섭씨와 화씨는 다르다 ($5 \text{ C}° = 9 \text{ F}°$).

예제: 온도 변환

서울의 한여름 최고 기온이 $35°\text{C}$일 때:

$$T_F = \frac{9}{5}(35) + 32 = 63 + 32 = 95°\text{F}$$

$$T = 35 + 273.15 = 308.15 \text{ K}$$

섭씨와 화씨가 같아지는 온도: $T_C = T_F$로 놓으면

$$T_C = \frac{9}{5}T_C + 32 \implies -\frac{4}{5}T_C = 32 \implies T_C = -40°$$

$-40°\text{C} = -40°\text{F}$. 이 온도에서 두 척도가 만난다!

18.3 열팽창

선팽창

온도가 올라가면 물체의 크기가 커진다. 길이 $L$인 물체의 온도가 $\Delta T$만큼 변하면:

$$\boxed{\Delta L = \alpha L \Delta T}$$

• $\alpha$: 선팽창 계수(coefficient of linear expansion) (단위: $1/°\text{C}$ 또는 $1/\text{K}$)
• $\alpha$는 재질에 따라 다르다

핵심: 모든 선형 치수가 같은 비율로 변한다. 구멍이 있는 금속판에서 구멍의 지름도 같은 비율로 커진다!

부피 팽창

3차원 물체는 모든 방향으로 팽창하므로 부피도 변한다:

$$\boxed{\Delta V = \beta V \Delta T}$$

• $\beta$: 부피 팽창 계수(coefficient of volume expansion)
• 고체의 경우: $\beta = 3\alpha$

열팽창의 응용과 물의 특이한 행동

바이메탈(bimetal strip): 팽창계수가 다른 두 금속을 접합하면, 온도 변화에 따라 휜다. 이 원리로 온도 조절기(thermostat) 를 만든다.

다리의 신축 이음(expansion joint): 여름과 겨울 온도 차이로 인한 팽창/수축을 흡수하기 위해 다리에 틈을 둔다.

물의 이상 팽창: 물은 0°C ~ 4°C 사이에서 온도가 올라가면 오히려 수축 한다. 4°C에서 밀도가 최대가 되어, 호수가 위에서부터 어는 이유가 된다. 이 덕분에 수중 생태계가 겨울을 버틸 수 있다.

예제: 다리의 열팽창

길이 $L = 200$ m인 강철 다리가 겨울($-10°\text{C}$)에서 여름($40°\text{C}$)으로 온도가 변하면:

$$\Delta T = 40 - (-10) = 50°\text{C}$$

$$\Delta L = \alpha L \Delta T = (11 \times 10^{-6})(200)(50) = 0.11 \text{ m} = 11 \text{ cm}$$

이 팽창을 수용하기 위해 다리에는 신축 이음(expansion joint) 을 설치한다.

18.4 열의 흡수

열이란?

열에너지(thermal energy) 는 물체를 구성하는 원자와 분자의 무질서한 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합이다. 이것을 내부 에너지(internal energy) $E_\text{int}$라 한다.

열(heat) 은 온도 차이 때문에 계(system)와 환경(environment) 사이에서 이동하는 에너지이다.

• $Q > 0$: 계가 에너지를 흡수 (환경 → 계)
• $Q < 0$: 계가 에너지를 방출 (계 → 환경)
• $Q = 0$: 열평형 상태

열의 단위: SI 단위는 줄(J)이다.

$$1 \text{ cal} = 4.1868 \text{ J}, \quad 1 \text{ Cal} = 1 \text{ kcal} = 4186.8 \text{ J}$$

열용량과 비열

열용량(heat capacity) $C$: 물체의 온도를 1도 올리는 데 필요한 열

$$Q = C\Delta T = C(T_f - T_i)$$

비열(specific heat) $c$: 단위 질량당 열용량

$$\boxed{Q = cm\Delta T = cm(T_f - T_i)}$$

물의 비열이 유난히 크다. 그래서 바닷가의 기온 변화가 내륙보다 작다.

열량 보존 (열량측정법)

고립된 계에서 모든 열의 합은 0이다:

$$\sum Q_i = 0$$

뜨거운 구리($m_c$, 온도 $T_c$)를 찬 물($m_w$, 온도 $T_w$)에 넣으면:

$$c_c m_c(T_f - T_c) + c_w m_w(T_f - T_w) = 0$$

평형 온도:

$$T_f = \frac{c_c m_c T_c + c_w m_w T_w}{c_c m_c + c_w m_w}$$

예제: 열량측정

$75$ g의 구리 조각을 $312°\text{C}$로 가열한 후 $220$ g의 물($12°\text{C}$)에 넣는다. 비커의 열용량은 $C_b = 45$ cal/K이다.

$$c_c m_c(T_f - T_c) + C_b(T_f - T_i) + c_w m_w(T_f - T_i) = 0$$

분자: $(0.0923)(75)(312) + (45)(12) + (1.00)(220)(12) = 5339.8$ cal

분모: $(1.00)(220) + 45 + (0.0923)(75) = 271.9$ cal/°C

$$T_f = \frac{5339.8}{271.9} \approx 20°\text{C}$$

상변화의 열

물질이 상전이(phase change) 를 겪을 때, 온도 변화 없이 열이 흡수/방출된다:

$$\boxed{Q = Lm}$$

• $L$: 변환열(heat of transformation) (J/kg)
• 융해열(heat of fusion) $L_F$: 고체 ↔ 액체
• 기화열(heat of vaporization) $L_V$: 액체 ↔ 기체

물의 경우:

$$L_F = 333 \text{ kJ/kg}, \quad L_V = 2256 \text{ kJ/kg}$$

기화열이 융해열보다 훨씬 크다. 분자를 완전히 분리시키는 데 더 많은 에너지가 필요하기 때문이다.

상변화 다이어그램

얼음을 계속 가열할 때 온도 변화: 얼음 가열 → 융해 (0°C 유지) → 물 가열 → 기화 (100°C 유지) → 수증기 가열

상전이 구간에서는 공급된 열이 분자 간 결합을 끊는 데 사용되므로 온도가 올라가지 않는다.

예제: 얼음을 물로 만들기

$m = 720$ g의 얼음이 $-10°\text{C}$에 있다. 이것을 $15°\text{C}$ 물로 만드는 데 필요한 열은?

1단계. 얼음을 $-10°\text{C}$에서 $0°\text{C}$로 가열:

$$Q_1 = c_\text{ice} m \Delta T = (2220)(0.720)(10) \approx 16.0 \text{ kJ}$$

2단계. $0°\text{C}$에서 얼음을 녹임:

$$Q_2 = L_F m = (333)(0.720) \approx 239.8 \text{ kJ}$$

3단계. $0°\text{C}$ 물을 $15°\text{C}$로 가열:

$$Q_3 = c_\text{water} m \Delta T = (4187)(0.720)(15) \approx 45.2 \text{ kJ}$$

합계: $Q_\text{tot} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 16.0 + 239.8 + 45.2 \approx 301 \text{ kJ}$

대부분의 에너지가 얼음을 녹이는 데 사용된다!

18.5 열역학 제1법칙

열과 일

실린더에 갇힌 기체가 피스톤을 밀어 팽창할 때, 기체가 한 미소 일은:

$$dW = p\,dV$$

부피가 $V_i$에서 $V_f$로 변할 때 전체 일:

$$\boxed{W = \int_{V_i}^{V_f} p\,dV}$$

• 기체가 팽창 하면 ($V_f > V_i$): $W > 0$ (기체가 일을 함)
• 기체가 압축 되면 ($V_f < V_i$): $W < 0$ (외부가 기체에 일을 함)
• 등적 과정 ($V = \text{const}$): $W = 0$

p-V 다이어그램

경로 의존성

$p$-$V$ 다이어그램에서 곡선 아래의 면적 이 기체가 한 일 $W$에 해당한다.

같은 시작 상태 $i$에서 같은 끝 상태 $f$로 가더라도, 경로에 따라 $W$와 $Q$가 다르다:

• 등압 경로: $W = p(V_f - V_i)$ (넓은 면적)
• 등적 + 등압: 두 단계로 가면 면적이 줄어듦
• 직접 곡선 경로: 그 사이의 값

그러나 $Q - W$는 항상 같다. 이것이 열역학 제1법칙으로 이어진다!

순환 과정(cycle): $i \to f \to i$로 돌아오면, 시계 방향 순환의 알짜 일은 양(+) 이다 (닫힌 곡선 내부 면적).

열역학 제1법칙

$$\boxed{\Delta E_\text{int} = E_{\text{int},f} - E_{\text{int},i} = Q - W}$$

• $E_\text{int}$: 내부 에너지(internal energy). 상태 함수 (경로에 무관)
• $Q$: 계가 흡수한 열 ($Q > 0$이면 흡수, $Q < 0$이면 방출)
• $W$: 계가 한 일 ($W > 0$이면 팽창, $W < 0$이면 압축)

미분 형태:

$$dE_\text{int} = \delta Q - \delta W$$

이것은 에너지 보존 법칙의 열역학적 표현이다.

제1법칙의 특수한 경우들

등온 과정 ($\Delta T = 0$, 이상기체)

이상기체에서 내부 에너지는 온도만의 함수이므로 $\Delta E_\text{int} = 0$ → $Q = W$.

상태식 $pV = nRT$에서 $T$가 일정하면 $p = nRT/V$. 이를 적분:

$$W = \int_{V_i}^{V_f} p\,dV = nRT \int_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V} = \boxed{nRT\,\ln\!\frac{V_f}{V_i}}$$

p-V 도해에서는 $pV = \text{const}$ 쌍곡선.

단열 과정 ($Q = 0$)

계와 환경 사이에 열교환이 없다. 두 가지 상황: ① 계가 완벽히 단열되어 있거나 ② 과정이 매우 빠르게 일어나 열이 전달될 시간이 없을 때.

제1법칙: $\Delta E_\text{int} = -W$

이상기체 상태식 + 비열 관계로부터 (다음 19장 유도):

$$\boxed{p\,V^{\gamma} = \text{const}, \quad T\,V^{\gamma-1} = \text{const}}$$

여기서 $\gamma = C_p/C_V$. p-V 도해에서 단열 곡선은 등온 쌍곡선보다 더 가파르다 ($\gamma > 1$).

• 단열 팽창: 기체가 일을 함 ($W > 0$) → $\Delta E_\text{int} < 0$ → 온도 감소
• 단열 압축: 외부가 일을 함 ($W < 0$) → $\Delta E_\text{int} > 0$ → 온도 증가

디젤 엔진은 공기를 단열 압축해서 온도를 올려 연료를 점화시킨다.

등적 과정과 순환 과정

등적 과정 ($W = 0$): 부피가 변하지 않으므로

$$\Delta E_\text{int} = Q$$

열을 가하면 전부 내부 에너지 증가(온도 상승)로 간다.

순환 과정 ($\Delta E_\text{int} = 0$): 계가 원래 상태로 돌아오면

$$Q = W$$

• p-V 다이어그램에서 닫힌 곡선의 면적이 한 순환 동안의 알짜 일
• 시계 방향: $W_\text{net} > 0$ (열기관)
• 반시계 방향: $W_\text{net} < 0$ (냉동기, 열펌프)

네 과정의 p-V 도해 비교

같은 시작점에서 출발해도 등온/등압/등적/단열 경로에 따라 끝점과 일($\int p\,dV$=곡선 아래 면적)이 모두 다르다.

18.6 열전달 메커니즘

세 가지 열전달 방식

전도 (Conduction)

물질 내부에서 분자의 진동이 이웃 분자에 에너지를 전달하는 방식이다. 매질이 필요하다.

단위 시간당 전도되는 열(열전달률):

$$\boxed{P_\text{cond} = \frac{dQ}{dt} = kA\frac{T_H - T_C}{L}}$$

• $k$: 열전도율(thermal conductivity) (W/(m·K))
• $A$: 단면적, $L$: 두께
• $T_H - T_C$: 양끝의 온도 차

구리 냄비가 열을 잘 전달하는 이유, 그리고 나무 손잡이를 쓰는 이유가 여기에 있다.

열저항과 복합벽

열저항(thermal resistance):

$$R = \frac{L}{kA}$$

직렬로 연결된 여러 층의 벽:

$$P_\text{cond} = \frac{T_H - T_C}{\sum R_i} = \frac{T_H - T_C}{\sum L_i/(k_i A)}$$

겨울에 외벽이 여러 층(벽돌 + 단열재 + 석고보드)으로 이루어진 이유: 각 층의 열저항을 합산하여 전체 열전달을 줄인다.

대류 (Convection)

유체(액체 또는 기체)의 흐름 에 의한 열전달이다.

• 자연 대류(natural convection): 뜨거운 유체는 밀도가 낮아 올라가고, 차가운 유체는 내려온다 → 대류 순환
• 강제 대류(forced convection): 팬, 펌프 등으로 유체를 강제로 순환

예시: 난방기 위의 따뜻한 공기 상승, 냄비 속 물의 순환, 해풍과 육풍

복사 (Radiation)

전자기파에 의한 열전달이다. 매질이 필요 없다. 태양에서 지구까지 진공을 통해 에너지가 전달된다.

슈테판-볼츠만 법칙(Stefan-Boltzmann law):

$$\boxed{P_\text{rad} = \sigma \varepsilon A T^4}$$

• $\sigma = 5.6704 \times 10^{-8} \text{ W/(m}^2\cdot\text{K}^4)$: 슈테판-볼츠만 상수
• $\varepsilon$: 방사율(emissivity), $0 \le \varepsilon \le 1$
• $A$: 표면적
• $T$: 절대 온도 (K)

알짜 복사 열전달률: 환경 온도가 $T_\text{env}$일 때

$$P_\text{net} = \sigma \varepsilon A (T^4 - T_\text{env}^4)$$

$T^4$에 비례하므로 고온에서 복사가 지배적이다.

예제: 사람의 복사 열손실

체온 $T = 310$ K, 환경 $T_\text{env} = 293$ K, 피부 면적 $A = 1.8$ m$^2$, 방사율 $\varepsilon = 0.97$일 때:

$$P_\text{net} = (5.67 \times 10^{-8})(0.97)(1.8)(310^4 - 293^4)$$

$$310^4 = 9.235 \times 10^9, \quad 293^4 = 7.370 \times 10^9$$

$$P_\text{net} = (5.67 \times 10^{-8})(0.97)(1.8)(1.865 \times 10^9) \approx 185 \text{ W}$$

옷을 입으면 방사율이 줄고 대류도 고려해야 하지만, 인체가 상당한 열을 복사로 잃는다는 것을 알 수 있다.

Review & Summary

핵심 개념

핵심 개념 (계속)

기억할 것:

• 열역학 제0법칙 이 온도 측정의 기초이다
• 열 은 온도 차이에 의한 에너지 전달이지, 물체가 "갖고 있는" 것이 아니다
• $W$와 $Q$는 경로 의존적 이지만, $\Delta E_\text{int} = Q - W$는 경로에 무관하다
• 상변화 중에는 온도가 변하지 않지만 열의 흡수·방출이 일어난다
• p-V 다이어그램에서 곡선 아래 면적 = 기체가 한 일