17장: 파동 II

Waves. II

이번 장에서 배울 내용

• 음파(sound wave): 종파, 변위와 압력 변화의 관계
• 음속(speed of sound): $v = \sqrt{B/\rho}$
• 세기(intensity) 와 데시벨(decibel) 스케일
• 간섭(interference): 경로차와 보강/상쇄 간섭
• 맥놀이(beats): 진동수가 약간 다른 두 파동의 중첩
• 도플러 효과(Doppler effect): 음원/관측자의 운동에 따른 진동수 변화
• 초음속(supersonic) 과 충격파(shock wave)

17.1 음속

음파란?

16장에서 배운 파동은 횡파(transverse wave)가 중심이었다. 이번 장의 주인공은 종파(longitudinal wave) 인 음파(sound wave) 다.

• 횡파: 매질의 진동 방향이 파동 진행 방향에 수직 (예: 줄의 파동)
• 종파: 매질의 진동 방향이 파동 진행 방향에 평행 (예: 음파, 지진의 P파)

음파는 공기, 물, 금속 등 매질 이 있어야 전파된다. 진공에서는 소리가 전달되지 않는다. 우주에서는 폭발 소리가 들리지 않는다!

소리는 압력 교란이다

음파에서는 공기 분자의 변위와 압력의 압축·팽창이 함께 전파된다.

음속 공식

16장에서 횡파의 속력이 $v = \sqrt{\tau/\mu}$ (탄성적 성질/관성적 성질)임을 배웠다. 종파에서도 같은 구조:

$$v = \sqrt{\frac{\text{탄성적 성질}}{\text{관성적 성질}}} = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$$

• $B$: 체적 탄성률(bulk modulus). 매질이 압축에 저항하는 정도
• $\rho$: 매질의 밀도(density)

$$B = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V}$$

압력 변화 $\Delta p$에 대한 부피 변화의 비율이다. 부호 규약: $\Delta p > 0$이면 $\Delta V < 0$ (압축)이므로 $B > 0$.

음속의 유도

공기 기둥 속을 진행하는 압축 펄스를 생각하자. 펄스와 함께 움직이는 기준계에서, 공기가 속력 $v$로 펄스를 통과한다.

두께 $\Delta x$, 단면적 $A$인 공기 요소에 뉴턴 제2법칙을 적용하면:

알짜힘: $F = pA - (p + \Delta p)A = -\Delta p \cdot A$

질량: $\Delta m = \rho A \Delta x = \rho A v \Delta t$

가속도: $a = \Delta v / \Delta t$

$F = ma$에서:

$$-\Delta p \cdot A = (\rho A v \Delta t) \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

$$\rho v^2 = -\frac{\Delta p}{\Delta v / v}$$

여기서 $\Delta V / V = A\Delta v\Delta t / (Av\Delta t) = \Delta v / v$이므로:

$$\rho v^2 = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V} = B$$

따라서:

$$\boxed{v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}}$$

여러 매질에서의 음속

공기 중 음속은 약 343 m/s (20°C). 빛의 속도(3×10⁸ m/s)보다 약 백만 배 느리다.

번개가 치면 빛은 즉시 보이지만, 천둥 소리는 나중에 들린다: $d = v \times t$.

3초 후 천둥이 들리면 거리는 약 $343 \times 3 \approx 1.0$ km.

17.2 진행하는 음파

변위 함수

음파에서 공기 요소의 변위(displacement) 는 평형 위치로부터의 종방향 이동:

$$s(x, t) = s_m \cos(kx - \omega t)$$

• $s_m$: 변위 진폭(displacement amplitude). 평형 위치에서 최대 변위
• $k = 2\pi/\lambda$: 파수(wave number)
• $\omega = 2\pi f$: 각진동수

횡파의 $y(x,t)$와 형태가 동일하다. 다만 진동 방향이 $x$축과 같다는 점이 다르다.

압력 변화

음파가 지나가면 공기의 압력도 주기적으로 변한다:

$$\Delta p(x, t) = \Delta p_m \sin(kx - \omega t)$$

여기서 압력 진폭(pressure amplitude) 은:

$$\Delta p_m = (v\rho\omega) s_m$$

핵심: 변위와 압력은 90° 위상차가 있다!

• 변위가 최대인 곳 → 압력 변화 = 0
• 변위가 0인 곳 → 압력 변화 최대 (압축 또는 팽창)

압력-변위 관계의 유도

변위 $s$에 의해 공기 요소의 부피가 변한다. 두께 $\Delta x$, 단면적 $A$인 요소에서:

원래 부피: $V = A\Delta x$

부피 변화: $\Delta V = A\Delta s$ ($\Delta s$는 양쪽 면의 변위 차)

미분 극한에서: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta s}{\Delta x} \to \frac{\partial s}{\partial x}$

체적 탄성률의 정의 $\Delta p = -B \frac{\Delta V}{V}$에서:

$$\Delta p = -B \frac{\partial s}{\partial x}$$

$s = s_m \cos(kx - \omega t)$를 대입하면:

$$\Delta p = -B \cdot (-k s_m) \sin(kx - \omega t) = Bk s_m \sin(kx - \omega t)$$

$v = \omega / k$와 $v^2 = B/\rho$를 사용하면 $Bk = v^2\rho k = v\rho\omega$이므로:

$$\boxed{\Delta p_m = v\rho\omega s_m}$$

17.3 간섭

두 음파의 간섭

같은 진동수, 같은 진폭의 두 음파가 같은 방향으로 진행하되 위상차 $\phi$가 있는 경우:

$$s_1 = s_m \cos(kx - \omega t), \quad s_2 = s_m \cos(kx - \omega t + \phi)$$

중첩 원리에 의한 합성파:

$$s' = \left[2s_m \cos\frac{\phi}{2}\right] \cos\left(kx - \omega t + \frac{\phi}{2}\right)$$

합성파의 진폭:

$$s'_m = \left|2s_m \cos\frac{\phi}{2}\right|$$

보강 간섭과 상쇄 간섭

보강 간섭(constructive interference): $\phi = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots$ → $s'_m = 2s_m$ (최대)

상쇄 간섭(destructive interference): $\phi = \pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$ → $s'_m = 0$ (소멸)

위상차 $\phi$는 경로차(path length difference) $\Delta L$과 관련된다:

$$\phi = \frac{\Delta L}{\lambda} \cdot 2\pi$$

경로차에 의한 간섭 조건

두 점 음원 $S_1$, $S_2$에서 같은 위상으로 방출된 음파가 점 $P$에 도달할 때, 경로차 $\Delta L = |L_2 - L_1|$에 따라:

보강 간섭:

$$\frac{\Delta L}{\lambda} = 0, 1, 2, 3, \ldots$$

상쇄 간섭:

$$\frac{\Delta L}{\lambda} = 0.5, 1.5, 2.5, \ldots$$

17.4 세기와 음압 수준

세기(Intensity)

음파의 세기(intensity) 는 단위 면적당 전달되는 평균 에너지 비율(일률):

$$I = \frac{P}{A}$$

변위 진폭 $s_m$으로 표현하면:

$$I = \frac{1}{2}\rho v \omega^2 s_m^2$$

단위: W/m²

역제곱 법칙

등방성 점 음원(isotropic point source)에서 출력 $P_s$로 음파를 방출하면, 거리 $r$에서의 세기:

$$I = \frac{P_s}{4\pi r^2}$$

구의 표면적 $4\pi r^2$에 에너지가 균일하게 분배되기 때문이다.

핵심: 세기는 거리의 제곱에 반비례한다.

거리가 2배 → 세기가 1/4로 감소. 거리가 10배 → 세기가 1/100로 감소.

데시벨 스케일

인간의 귀는 세기 범위가 $10^{12}$배나 된다. 이 거대한 범위를 다루기 위해 로그 스케일을 사용한다.

음압 수준(sound level) $\beta$:

$$\beta = (10 \text{ dB}) \log \frac{I}{I_0}$$

• $I_0 = 10^{-12}$ W/m²: 기준 세기 (청각 역치)
• dB(decibel): 음압 수준의 단위

데시벨 계산 예시

세기가 10배 증가하면 $\beta$는 10 dB 증가:

$$\beta_2 - \beta_1 = 10 \log \frac{I_2}{I_0} - 10\log\frac{I_1}{I_0} = 10\log\frac{I_2}{I_1}$$

$I_2 = 10 I_1$이면 $\Delta\beta = 10\log 10 = 10$ dB.

$I_2 = 100 I_1$이면 $\Delta\beta = 10\log 100 = 20$ dB.

$I_2 = 2 I_1$이면 $\Delta\beta = 10\log 2 \approx 3$ dB.

"3 dB 증가 = 세기 2배" 는 기억해 둘 가치가 있다.

세기 공식 유도

단면적 $A$, 두께 $dx$인 공기 요소의 운동에너지:

$$dK = \frac{1}{2}dm \cdot v_s^2$$

여기서 $v_s = \partial s / \partial t = \omega s_m \sin(kx - \omega t)$는 공기 요소의 속도이고, $dm = \rho A\,dx$.

$$\frac{dK}{dt} = \frac{1}{2}\rho A v \omega^2 s_m^2 \sin^2(kx - \omega t)$$

시간 평균: $\langle \sin^2 \rangle = 1/2$

$$\left\langle\frac{dK}{dt}\right\rangle = \frac{1}{4}\rho A v \omega^2 s_m^2$$

세기 공식 유도 (계속)

퍼텐셜에너지도 동일한 기여를 하므로, 전체 에너지 전달률:

$$P = 2 \times \frac{1}{4}\rho A v \omega^2 s_m^2 = \frac{1}{2}\rho A v \omega^2 s_m^2$$

세기 $I = P/A$:

$$\boxed{I = \frac{1}{2}\rho v \omega^2 s_m^2}$$

17.5 악기의 음원: 관에서의 정상파

열린관과 닫힌관

관악기(플루트, 클라리넷, 파이프 오르간 등)의 원리는 관 속에서 형성되는 정상파(standing wave) 다.

• 열린 끝(open end): 배(antinode). 공기가 자유롭게 진동
• 닫힌 끝(closed end): 마디(node). 공기가 움직이지 못함

이것은 줄의 정상파에서 고정단(마디)과 자유단(배)에 해당한다.

양쪽 열린 관 (Two Open Ends)

양 끝이 배이므로, 가장 단순한 정상파의 파장:

$$L = \frac{\lambda}{2} \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2L$$

일반적으로, $n$번째 배음(harmonic)의 파장과 진동수:

$$\lambda = \frac{2L}{n}, \quad f = \frac{v}{\lambda} = \frac{nv}{2L}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots$$

모든 정수 배음 이 가능하다. $n = 1$이 기본 진동(fundamental), $n = 2$가 2차 배음, ...

한쪽 닫힌 관 (One Open End)

열린 끝은 배, 닫힌 끝은 마디. 가장 단순한 정상파:

$$L = \frac{\lambda}{4} \quad \Rightarrow \quad \lambda = 4L$$

일반적으로:

$$\lambda = \frac{4L}{n}, \quad f = \frac{nv}{4L}, \quad n = 1, 3, 5, \ldots$$

홀수 배음만 가능하다! $n = 2, 4, 6, \ldots$는 존재하지 않는다.

이것이 클라리넷(한쪽 닫힌 관)과 플루트(양쪽 열린 관)의 음색 차이를 만든다.

17.6 맥놀이

맥놀이 현상

진동수가 약간 다른 두 음파가 동시에 들리면, 소리의 세기가 주기적으로 커졌다 작아졌다 한다. 이것이 맥놀이(beats) 다.

예: 440 Hz와 444 Hz 음을 동시에 들으면, 1초에 4번 소리가 커졌다 작아진다.

악기 조율에 활용: 기준 음과 맞추려는 악기를 동시에 울리고, 맥놀이가 사라질 때까지 조율한다.

맥놀이의 수학적 분석

같은 진폭 $s_m$, 약간 다른 각진동수 $\omega_1$, $\omega_2$ ($\omega_1 > \omega_2$)인 두 파동:

$$s_1 = s_m \cos \omega_1 t, \quad s_2 = s_m \cos \omega_2 t$$

중첩: $s = s_1 + s_2 = s_m(\cos\omega_1 t + \cos\omega_2 t)$

삼각함수 덧셈 공식 $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$을 적용:

$$s = \left[2s_m \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right)\right] \cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)$$

맥놀이 진동수

$$s(t) = \underbrace{\left[2s_m \cos\omega' t\right]}_{\text{천천히 변하는 진폭}} \cos\omega t$$

여기서 $\omega' = \frac{1}{2}(\omega_1 - \omega_2)$, $\omega = \frac{1}{2}(\omega_1 + \omega_2)$.

맥놀이의 세기가 최대가 되는 것은 $\cos\omega' t = \pm 1$일 때, 즉 한 주기 동안 2번 이므로:

$$\omega_\text{beat} = 2\omega' = \omega_1 - \omega_2$$

진동수로 표현하면:

$$\boxed{f_\text{beat} = |f_1 - f_2|}$$

맥놀이 진동수 = 두 진동수의 차이(절댓값).

17.7 도플러 효과

도플러 효과란?

구급차가 다가올 때 사이렌 소리가 높게 들리고, 멀어질 때 낮게 들린다. 이것이 도플러 효과(Doppler effect) 다.

음원이나 관측자가 움직이면, 관측되는 진동수가 원래 진동수와 달라진다.

움직이는 음원은 파면 간격을 바꾼다

음원이 다가오면 앞쪽 파장이 짧아지고, 멀어지면 뒤쪽 파장이 길어진다.

도플러 효과 일반 공식

$$f' = f \frac{v \pm v_O}{v \mp v_S}$$

• $f$: 음원의 고유 진동수
• $f'$: 관측되는 진동수
• $v$: 음속
• $v_O$: 관측자의 속력
• $v_S$: 음원의 속력

부호 규칙: "접근하면 진동수 증가" 방향이 양

• 분자($v \pm v_O$): 관측자가 음원 쪽으로 이동하면 +
• 분모($v \mp v_S$): 음원이 관측자 쪽으로 이동하면 −

경우 1: 관측자가 움직이는 경우

음원 정지($v_S = 0$), 관측자가 속력 $v_O$로 움직이는 경우.

관측자가 음원에 접근하면, 파면을 더 자주 만난다:

$$f' = f \frac{v + v_O}{v}$$

관측자가 음원에서 멀어지면:

$$f' = f \frac{v - v_O}{v}$$

물리적 이해: 관측자 기준에서 파동의 상대 속도가 $v + v_O$ (접근) 또는 $v - v_O$ (멀어짐)로 바뀐다. 파장은 그대로이므로, 진동수가 변한다.

경우 2: 음원이 움직이는 경우

관측자 정지($v_O = 0$), 음원이 속력 $v_S$로 움직이는 경우.

음원이 관측자에 접근하면, 파면이 앞쪽으로 압축된다:

$$\lambda' = \lambda - v_S T = \lambda\left(1 - \frac{v_S}{v}\right) = \frac{v - v_S}{f}$$

$$f' = \frac{v}{\lambda'} = f\frac{v}{v - v_S}$$

음원이 멀어지면:

$$f' = f\frac{v}{v + v_S}$$

도플러 효과 예제

구급차의 사이렌 진동수: $f = 1000$ Hz. 구급차 속도: $v_S = 30$ m/s. 음속: $v = 343$ m/s.

다가올 때:

$$f' = 1000 \times \frac{343}{343 - 30} = 1000 \times \frac{343}{313} = 1096 \text{ Hz}$$

멀어질 때:

$$f' = 1000 \times \frac{343}{343 + 30} = 1000 \times \frac{343}{373} = 920 \text{ Hz}$$

진동수 변화: $1096 - 920 = 176$ Hz. 이것이 우리가 흔히 듣는 "삐~이이" 소리의 원인이다.

17.8 초음속과 충격파

음원이 음속을 넘으면?

도플러 공식에서 $v_S > v$이면 분모가 음수. 공식이 더 이상 성립하지 않는다.

음원이 음속보다 빠르면, 음파의 파면을 앞지른다. 이때 발생하는 것이 충격파(shock wave) 다.

초음속에서는 파면이 원뿔로 쌓인다

음원 속력이 음속보다 크면 구면파들이 겹쳐 마하 원뿔을 만든다.

마하 원뿔

음원이 $v_S > v$로 이동하면, 각 순간 방출된 구면파의 공통접선이 원뿔면 을 이룬다.

이 원뿔의 반각 $\theta$:

$$\sin\theta = \frac{v}{v_S} = \frac{1}{\text{Ma}}$$

여기서 마하 수(Mach number) 는:

$$\text{Ma} = \frac{v_S}{v}$$

• Ma = 1: 음속 (소닉 붐의 시작)
• Ma > 1: 초음속(supersonic). 전투기, 총알 등
• Ma > 5: 극초음속(hypersonic)

Review & Summary

핵심 개념

핵심 개념 (계속)

기억할 것:

• 음파는 종파 다. 변위와 압력은 90° 위상차
• 세기는 거리의 제곱에 반비례 (역제곱 법칙)
• 맥놀이 = 두 진동수의 차이
• 도플러: 접근 → 높은 진동수, 멀어짐 → 낮은 진동수
• $v_S > v$ → 마하 원뿔 과 충격파