10장: 회전

Rotation

이번 장에서 배울 내용

각변수(angular variables): 각위치 $\theta$ , 각속도 $\omega$ , 각가속도 $\alpha$
등각가속도 운동: 2장의 등가속도 공식과의 대응
선형-각 관계: $v = \omega r$ , $a_t = \alpha r$ , $a_r = \omega^2 r$
관성모멘트(moment of inertia) $I$ : 회전의 "질량" 역할
토크(torque) $\tau$ : 회전의 "힘" 역할
회전 운동에너지: $K = \frac{1}{2}I\omega^2$
회전의 뉴턴 제2법칙: $\tau_\text{net} = I\alpha$

왜 회전을 배우는가?

지금까지는 물체를 질점(입자) 으로 취급했다. 크기와 모양은 무시하고, 위치만 추적했다.

하지만 현실의 물체는 크기가 있고, 회전 한다:

자동차 바퀴, 선풍기 날개, 지구의 자전
피겨 스케이터의 스핀, 팽이의 회전

이번 장에서는 고정된 축 을 중심으로 회전하는 강체(rigid body) 의 운동을 다룬다.

강체 란 변형되지 않는 이상적인 물체로, 물체 내 모든 점 사이의 거리가 일정하다.

10.1 각위치

각위치(angular position) 의 정의

고정 축(회전축)을 중심으로 회전하는 강체 위의 한 점 P를 생각하자.

기준선 에서 점 P까지 측정한 각도가 각위치(angular position) $\theta$ 이다.

$\theta = \frac{s}{r}$

여기서 $s$ 는 호의 길이, $r$ 은 반지름이다.

단위: 라디안(radian, rad)
반시계 방향이 양(+), 시계 방향이 음(-)
$1 \text{ rev} = 2\pi \text{ rad} = 360°$

각도 단위 변환

$1 \text{ rad} = \frac{360°}{2\pi} \approx 57.3°$

$\theta(\text{rad}) = \frac{\pi}{180°} \times \theta(°)$

예시: 반바퀴 회전 = $\pi$ rad = 180°

강체가 회전할 때, 강체 위의 모든 점 은 같은 각도 $\theta$ 만큼 회전한다.

이것이 각변수의 장점이다 — 하나의 $\theta$ 로 전체 강체의 상태를 기술할 수 있다.

10.2 각변위, 각속도, 각가속도

각변위(angular displacement)

$\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1$

2장에서 $\Delta x = x_2 - x_1$ 에 대응된다.

각속도(angular velocity)

평균 각속도:

$\omega_\text{avg} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$

순간 각속도:

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

단위: rad/s
$\omega > 0$ : 반시계 방향 회전
$\omega < 0$ : 시계 방향 회전

각가속도(angular acceleration)

평균 각가속도:

$\alpha_\text{avg} = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$

순간 각가속도:

$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$

단위: rad/s²
$\alpha$ 와 $\omega$ 가 같은 부호 → 회전 빨라짐
$\alpha$ 와 $\omega$ 가 다른 부호 → 회전 느려짐

10.3 등각가속도 운동

$\alpha$ 가 일정할 때, 2장의 등가속도 공식과 정확히 같은 구조 의 식이 성립한다:

병진 운동 ( $a$ 일정)	회전 운동 ( $\alpha$ 일정)
$v = v_0 + at$	$\omega = \omega_0 + \alpha t$
$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$	$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$
$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$	$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
$x = x_0 + \frac{1}{2}(v_0 + v)t$	$\theta = \theta_0 + \frac{1}{2}(\omega_0 + \omega)t$

$x \leftrightarrow \theta$ , $v \leftrightarrow \omega$ , $a \leftrightarrow \alpha$ 로 치환하면 된다!

예제: 등각가속도

선풍기 날개가 정지 상태에서 $\alpha = 2.0$ rad/s²로 일정하게 가속된다.

(a) 5.0 s 후의 각속도는?

$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + 2.0 \times 5.0 = 10 \text{ rad/s}$

(b) 5.0 s 동안 회전한 각도는?

$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2}(2.0)(5.0)^2 = 25 \text{ rad}$

회전 수: $25/(2\pi) \approx 4.0$ 바퀴

회전 운동학 시뮬레이션

10.4 선형량과 각량의 관계

회전축에서 거리 $r$ 인 점 P의 선형량:

호의 길이

$s = \theta r$

$\theta$ 는 반드시 라디안 으로!

접선 속력(tangential speed)

$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d(\theta r)}{dt} = \omega r$

같은 강체 위라도, $r$ 이 큰 점은 더 빠르게 움직인다
각속도 $\omega$ 는 모든 점에서 동일하지만, 선속도 $v$ 는 $r$ 에 비례

접선 가속도와 구심 가속도

접선 가속도(tangential acceleration):

$a_t = \frac{dv}{dt} = \alpha r$

속력의 크기 변화를 담당

구심 가속도(centripetal acceleration):

$a_r = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

속도의 방향 변화를 담당 (항상 중심을 향한다)

총 가속도

$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_r$

$|\vec{a}| = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = r\sqrt{\alpha^2 + \omega^4}$

등속 원운동( $\alpha = 0$ )이면 $a_t = 0$ , $|\vec{a}| = a_r = \omega^2 r$ (구심 가속도만)
$\omega = 0$ 인 순간(출발 직후)이면 $a_r = 0$ , $|\vec{a}| = a_t = \alpha r$ (접선 가속도만)

10.5 회전 운동에너지

회전하는 강체의 운동에너지는 어떻게 구할까?

강체를 질량 $m_i$ , 축으로부터 거리 $r_i$ 인 작은 조각들로 나누자.

각 조각의 속력: $v_i = \omega r_i$

각 조각의 운동에너지: $\frac{1}{2}m_i v_i^2 = \frac{1}{2}m_i \omega^2 r_i^2$

전체 운동에너지:

$K = \sum_i \frac{1}{2}m_i v_i^2 = \frac{1}{2}\left(\sum_i m_i r_i^2\right)\omega^2$

관성모멘트(moment of inertia)

$I = \sum_i m_i r_i^2$

이 양을 관성모멘트 또는 회전관성(rotational inertia) 이라 한다.

따라서 회전 운동에너지:

$K = \frac{1}{2}I\omega^2$

병진 운동에너지 $K = \frac{1}{2}mv^2$ 에서 $m \to I$ , $v \to \omega$ 로 바꾼 것이다!

$I$ 의 단위: $\text{kg}\cdot\text{m}^2$
$I$ 는 질량 분포와 회전축의 위치 에 의존한다

연속체의 관성모멘트

질량이 연속적으로 분포된 물체:

$I = \int r^2\, dm$

$r$ : 회전축에서 질량 요소 $dm$ 까지의 수직 거리

주요 물체의 관성모멘트

평행축 정리(Parallel-axis Theorem)

질량 중심을 지나는 축에 대한 관성모멘트가 $I_\text{com}$ 일 때, 이와 평행 한 임의 축에 대한 관성모멘트:

$I = I_\text{com} + Mh^2$

$h$ : 두 축 사이의 거리, $M$ : 전체 질량

이 정리를 사용하면, 질량 중심의 관성모멘트만 알면 다른 평행축에 대한 관성모멘트를 바로 구할 수 있다
질량 중심을 지나는 축이 항상 최소 관성모멘트를 가진다

평행축 정리 유도

질량 중심이 원점인 좌표계에서, 질량 요소 $dm$ 의 위치를 $(x', y')$ 이라 하자.

평행축은 질량 중심에서 $(a, b)$ 만큼 떨어져 있으므로:

$I = \int [(x'-a)^2 + (y'-b)^2]\, dm$

$= \int (x'^2 + y'^2)\, dm - 2a\int x'\, dm - 2b\int y'\, dm + (a^2+b^2)\int dm$

질량 중심 정의에서 $\int x'\, dm = 0$ , $\int y'\, dm = 0$ 이므로:

$I = I_\text{com} + M(a^2 + b^2) = I_\text{com} + Mh^2$

예제: 평행축 정리

질량 $M = 2.0$ kg, 길이 $L = 1.0$ m인 가느다란 막대.

중심을 지나는 축: $I_\text{com} = \frac{1}{12}ML^2 = \frac{1}{12}(2.0)(1.0)^2 = 0.167$ kg $\cdot$ m²

끝을 지나는 축: $h = L/2 = 0.5$ m

$I = I_\text{com} + Mh^2 = 0.167 + 2.0 \times 0.5^2 = 0.167 + 0.500 = 0.667 \text{ kg}\cdot\text{m}^2$

확인: $\frac{1}{3}ML^2 = \frac{1}{3}(2.0)(1.0)^2 = 0.667$ kg $\cdot$ m² $\checkmark$

10.6 토크

토크(torque)의 정의

토크(torque) 는 물체를 회전시키는 능력을 나타내는 양이다.

병진 운동에서 힘 이 가속도를 일으키듯, 회전 운동에서는 토크 가 각가속도를 일으킨다.

토크의 크기

$\tau = rF\sin\phi$

여기서

$r$ : 회전축에서 힘의 작용점까지의 거리
$F$ : 힘의 크기
$\phi$ : $\vec{r}$ 과 $\vec{F}$ 사이의 각도

동등한 표현:

$\tau = r \times (F\sin\phi) = r \times F_\perp$

$\tau = (r\sin\phi) \times F = r_\perp \times F$

$r_\perp = r\sin\phi$ 를 모멘트 팔(moment arm) 이라 한다.

토크의 부호와 단위

양의 토크 ( $\tau > 0$ ): 반시계 방향 회전을 유발
음의 토크 ( $\tau < 0$ ): 시계 방향 회전을 유발
단위: $\text{N}\cdot\text{m}$ (뉴턴미터)

주의: 토크의 단위 $\text{N}\cdot\text{m}$ 와 에너지의 단위 $\text{J} = \text{N}\cdot\text{m}$ 는 같은 차원이지만, 물리적 의미가 다르다. 토크는 J로 쓰지 않는다.

예시: 문을 열 때, 손잡이(경첩에서 먼 곳)를 밀면 쉽게 열린다. 경첩 가까이를 밀면 같은 힘으로도 토크가 작아 열기 어렵다.

10.7 회전의 뉴턴 제2법칙

$\tau_\text{net} = I\alpha$

알짜 토크 는 관성모멘트 와 각가속도 의 곱과 같다.

이것은 병진 운동의 뉴턴 제2법칙 $F_\text{net} = ma$ 와 정확히 같은 구조이다:

$F \to \tau$ (힘 → 토크)
$m \to I$ (질량 → 관성모멘트)
$a \to \alpha$ (가속도 → 각가속도)

뉴턴 제2법칙(회전) 유도

회전축에서 $r_i$ 만큼 떨어진 질량 $m_i$ 에 접선 힘 $F_{t,i}$ 가 작용:

$F_{t,i} = m_i a_{t,i} = m_i \alpha r_i$

이 힘에 의한 토크:

$\tau_i = r_i F_{t,i} = m_i r_i^2 \alpha$

전체 알짜 토크:

$\tau_\text{net} = \sum_i \tau_i = \sum_i m_i r_i^2 \alpha = \left(\sum_i m_i r_i^2\right)\alpha = I\alpha$

관성모멘트와 토크 시뮬레이션

10.8 일과 회전 운동에너지

토크가 하는 일

일정한 토크 $\tau$ 가 각변위 $\Delta\theta$ 만큼 회전시킬 때 한 일:

$W = \tau \Delta\theta$

변하는 토크:

$W = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \tau\, d\theta$

병진 운동에서 $W = F \cdot d$ 와 대응: $F \to \tau$ , $d \to \theta$

일-운동에너지 정리 (회전)

$\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}I\omega_f^2 - \frac{1}{2}I\omega_i^2 = W$

토크가 한 알짜 일 = 회전 운동에너지의 변화량

유도:

$W = \int \tau\, d\theta = \int I\alpha\, d\theta = I\int \frac{d\omega}{dt} d\theta = I\int \omega\, d\omega = \frac{1}{2}I\omega_f^2 - \frac{1}{2}I\omega_i^2$

회전의 일률(power)

$P = \frac{dW}{dt} = \tau \frac{d\theta}{dt} = \tau\omega$

병진 운동의 $P = Fv$ 와 대응: $F \to \tau$ , $v \to \omega$

Review & Summary

병진-회전 대응

핵심 공식

개념	공식
각위치	$\theta = s/r$ (rad)
각속도	$\omega = d\theta/dt$
각가속도	$\alpha = d\omega/dt$
선형-각 관계	$v = \omega r$ , $a_t = \alpha r$ , $a_r = \omega^2 r$
관성모멘트	$I = \sum m_i r_i^2 = \int r^2\, dm$
평행축 정리	$I = I_\text{com} + Mh^2$

핵심 공식 (계속)

개념	공식
토크	$\tau = rF\sin\phi$
뉴턴 제2법칙 (회전)	$\tau_\text{net} = I\alpha$
회전 운동에너지	$K = \frac{1}{2}I\omega^2$
일 (회전)	$W = \tau\Delta\theta$
일률 (회전)	$P = \tau\omega$

기억할 것:

회전 운동은 병진 운동과 완벽하게 대응 된다
관성모멘트 $I$ 는 질량 분포와 회전축 에 의존한다
같은 물체라도 축이 바뀌면 $I$ 가 달라진다 (평행축 정리)
모든 각량은 라디안 단위를 사용해야 한다