1장: 측정

Measurement

이번 장에서 배울 내용

• 물리학(physics) 은 측정과 비교의 학문이다
• 기본량(base quantities) 과 SI 단위계
• 단위 변환(unit conversion): chain-link method
• 유효숫자(significant figures): 측정의 정밀도를 나타내는 방법
• 길이, 시간, 질량의 표준(standard) 은 어떻게 정해졌는가?

물리학이란?

물리학은 자연 현상을 측정 하고 비교 하여 법칙을 찾아내는 학문이다.

• "이 강의실의 온도는 몇 도인가?" → 온도계로 측정
• "어제보다 더운가?" → 두 측정값을 비교
• "왜 더운가?" → 물리 법칙 으로 설명

측정하려면 표준(standard) 이 필요하다.

"측정할 수 없는 것은 개선할 수 없다." — 켈빈 경 (Lord Kelvin)

모든 측정은 숫자 와 단위 의 조합이다. "길이가 3"은 의미가 없고, "길이가 3 m "이어야 의미가 있다.

SI 단위계

국제단위계 SI(Système International) 는 7개의 기본량(base quantities) 을 정의한다.

이 장에서는 길이(m), 시간(s), 질량(kg) 에 집중한다.

나머지 모든 물리량은 기본량의 조합인 유도량(derived quantities) 이다.

기본량과 유도량

예시:

• 속력 = 길이/시간 → m/s
• 힘 = 질량 $\times$ 가속도 → kg$\cdot$m/s² = N (뉴턴)
• 에너지 = 힘 $\times$ 길이 → kg$\cdot$m²/s² = J (줄)

SI 접두어

삼성전자의 "3nm 공정"이란? 트랜지스터 게이트 길이가 $3 \times 10^{-9}$ m = 0.000000003 m라는 뜻이다. 원자 약 10개를 나란히 놓은 크기!

단위 변환: Chain-link Method

단위를 바꿀 때는 변환 인수(conversion factor) 를 곱한다.

핵심 원리: $\frac{1 \text{ km}}{1000 \text{ m}} = 1$ 이므로, 이것을 곱해도 값은 변하지 않는다.

단위 변환 예제

예제 1: 25평 아파트는 몇 m²?

$$25 \text{ 평} \times \frac{3.3058 \text{ m}^2}{1 \text{ 평}} = 82.6 \text{ m}^2$$

예제 2: 한우 1근은 몇 kg?

$$1 \text{ 근} = 600 \text{ g} = 0.600 \text{ kg}$$

예제 3: KTX 최고 속력 305 km/h를 m/s로?

$$305 \frac{\text{km}}{\text{h}} \times \frac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 84.7 \text{ m/s}$$

빠른 변환: km/h에서 m/s로 바꾸려면 3.6으로 나누면 된다.

1.1 길이

미터(m)의 정의 변천사

현재의 미터 정의 (1983~)

1 미터 = 빛이 진공에서 $\frac{1}{299\,792\,458}$ 초 동안 이동하는 거리

이 정의는 빛의 속력 을 정확히 고정한다:

$$c = 299\,792\,458 \text{ m/s} \quad \text{(정확한 값, 오차 없음)}$$

왜 자연 상수로 정의할까?

• 실물 원기는 시간이 지나면 변한다 (마모, 열팽창)
• 자연 상수는 우주 어디서나, 언제나 같다
• 누구나 독립적으로 재현할 수 있다

다양한 길이 스케일

가장 작은 것에서 가장 큰 것까지 약 $10^{42}$ 배 차이!

유효숫자 (Significant Figures)

유효숫자 란 측정에서 의미 있는 자릿수를 말한다.

규칙

1. 0이 아닌 숫자 는 항상 유효: 723 → 유효숫자 3개
2. 사이에 낀 0 은 유효: 7003 → 유효숫자 4개
3. 앞에 붙은 0 은 유효하지 않음: 0.0056 → 유효숫자 2개
4. 뒤에 붙은 0 은 소수점이 있으면 유효: 8.200 → 유효숫자 4개

연산 규칙

• 곱셈/나눗셈: 결과의 유효숫자 개수 = 가장 적은 쪽
• 덧셈/뺄셈: 결과의 소수점 자릿수 = 가장 적은 쪽

예: $3.14 \times 2.1 = 6.594 \rightarrow 6.6$ (유효숫자 2개)

1.2 시간

초(s)의 정의

1초 = 세슘-133 원자의 바닥 상태 초미세 전이에 해당하는 복사선의 9,192,631,770 주기

원자시계(atomic clock) 는 이 원리로 작동한다.

• 현대 세슘 원자시계의 정확도: $\pm 1$ 초 / $10^8$ 년
• 3000만 년에 1초 오차!

원자시계와 GPS

GPS 위성에는 원자시계 가 탑재되어 있다.

GPS 원리: 위성 4개에서 보낸 전파의 도착 시간 차이 로 위치를 계산

$$\text{거리} = c \times \Delta t$$

만약 시계가 $1 \text{ μs} = 10^{-6}$ s만 틀려도:

$$\Delta d = (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (10^{-6} \text{ s}) = 300 \text{ m}$$

카카오맵 내비게이션이 300 m씩 틀린다면 쓸 수 없다! 정밀한 시간 측정이 일상 기술의 핵심이다.

다양한 시간 스케일

1.3 질량

킬로그램(kg)의 정의

과거 (1889~2018): 백금-이리듐 합금 원기 (파리 국제도량형국 보관)

문제: 세척할 때마다 원자 수십 개가 떨어져 나감 → 시간이 지나면서 질량이 변했다!

현재 (2019~): 플랑크 상수 $h$로 정의

$$h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \quad \text{(정확한 값)}$$

$\text{J} = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2$ 이고, m과 s는 이미 정의되었으므로, $h$의 값을 고정하면 kg이 결정된다.

밀도

밀도(density) $\rho$는 단위 부피당 질량이다:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

• SI 단위: kg/m³
• 일상적 단위: g/cm³ (물의 밀도 = 1 g/cm³ = 1000 kg/m³)

다양한 질량 스케일

크기 어림 (Order of Magnitude)

물리학에서는 정확한 답보다 자릿수(order of magnitude) 를 빠르게 추정하는 능력이 중요하다.

예제: 서강대 운동장에 탁구공을 채운다면?

1단계: 운동장 크기 어림

• 가로 $\sim 100$ m, 세로 $\sim 70$ m, 높이 $\sim 3$ m (담장 높이)
• 부피: $V \sim 100 \times 70 \times 3 = 2.1 \times 10^4 \text{ m}^3$

2단계: 탁구공 크기

• 지름 $\sim 4$ cm → 반지름 $\sim 0.02$ m
• 한 개 부피: $V_\text{ball} \sim (0.04)^3 \approx 6.4 \times 10^{-5} \text{ m}^3$
• 랜덤 패킹 효율 $\sim 0.64$

3단계: 계산

$$N \sim \frac{V \times 0.64}{V_\text{ball}} \sim \frac{2.1 \times 10^4 \times 0.64}{6.4 \times 10^{-5}} \sim 2 \times 10^8$$

약 2억 개! (정확한 값이 아니라 $\sim 10^8$ 이라는 자릿수가 중요)

Review & Summary

핵심 개념

기억할 것

• 모든 SI 기본 단위는 자연 상수 로 정의된다 (실물 원기 없음)
• 단위 변환 시 변환 인수 를 체인처럼 연결하여 곱한다
• 유효숫자 는 측정의 정밀도를 나타낸다
• 물리학에서 크기 어림 은 매우 유용한 도구다
• 정밀한 시간 측정이 GPS 같은 현대 기술을 가능하게 한다

$$\boxed{c = 299\,792\,458 \text{ m/s}}$$

$$\boxed{h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34} \text{ J}\!\cdot\!\text{s}}$$